Jauno matemātiķu konkursa 2000./2001. m.g. 1. nodarbības uzdevumu atrisinājumi

1. Februārī var būt 28 vai 29 dienas. Ja kādā mēnesī ir 28 dienas, tad šajā mēnesī ir tieši četras pilnas nedēļas, t.i., jebkurā nedēļas dienā "iekrīt" tieši četri datumi. Tātad uzdevumā runāts par garo gadu, kad februārī ir 29 dienas. Tad ir viena nedēļas diena, kurā "iekrīt" pieci datumi (uzdevumā tā ir otrdiena), bet visās pārējās dienās "iekrīt" četri datumi. Tātad otrdiena ir mēneša 1. un pēdējais datums, t.i., otrdienās bija 1., 8., 15., 22. un 29. februāris. Tālāk viegli izskaitīt, ka 13.februāris bija svētdien.

2. 1®6®2®12®4®24®8®81®27®9®3®1

1®6®2
1®6®2®12®4®24®8®81®27®9®3
1®6®2®12®4
1®6
1®6®2®21®7
1®6®2®12®4®24®8
1®6®2®12®4®24®8®81®27®9
Skaitļus 5 un 10 uzdevumā aprakstītajā veidā no skaitļa 1 iegūt nevar. Tā kā 1 nedalās ar 3, tad vispirms jāveic operācija, kas doto skaitli palielina, t.i., jāpareizina ar 6 (operācija a) vai jāpieraksta labajā pusē 1 (operācija c). Izpildot operāciju c) iegūstam skaitli, kura pēdējais cipars ir 1. Ja veicam tikai a) operāciju, tad no 1 varam iegūt skaitli, kura pēdējais cipars ir 6. Veicot pēc kārtas a) un b) operācijas, īstenībā doto skaitli pareizina ar 2 (x×6:3=x×2). Tātad veicot pēc kārtas pamīšus a) un b) operācijas no skaitļa 1 varam iegūt skaitļus, kuru pēdējie cipari ir 2, 4, 8, 6. Tātad skaitli 1 palielinot ar atļautajām operācijām, varam iegūt skaitļus, kuru pēdējie cipari ir 1, 2, 4, 6, 8.


No tabulas redzams, ka veicot dalīšanu ar 3, arī nevar iegūt skaitļus kuru pēdējais cipars ir 5 vai 0, tātad nevar iegūt arī skaitļus 5 un 0.

3. Tā kā ŠLBC+ŠABK=90°+60°=150°>ŠABC, tad leņķiem ABK un LBC ir kopīga daļa - ŠKBL, pie tam ŠKBL=(ŠLBC+ŠABK)-ŠABC=150°-130°=20°. Skatīt 1. zīmējumu.

4. Tātad vasarā dzimuši 40%= no klases skolēniem. Tādā gadījumā skolēnu skaitam jādalās gan ar 5, gan ar 7, jo gan vasarā, gan ziemā, gan rudenī dzimušo skaitam jābūt veselam skaitlim; daļas , un ir nesaīsināmas, tātad klases skolēnu skaitam jādalās ar saucējiem 5 un 7. Starp skaitļiem 15 un 40 ir viens tāds skaitlis - 35, tātad klasē pavisam ir 35 skolēni.

5. Par katru zēnu pēc kārtas pieņemsim, ka viņš meloja.

1) Pieņemsim, ka meloja Aldis un pārējie zēni teica taisnību. Tad pēc zēnu teiktā sanāk, ka īstenībā Aldis bija pirmais vai pēdējais (jo viņš meloja), Pēcis bija pirmais, otrais vai trešais (viņš nemeloja), Didzis bija pirmais (viņš nemeloja) un Mārcis bija pēdējais (viņš arī nemeloja). Taču nevar būt, ka Aldis bija pirmais vai pēdējais, jo pirmais bija Didzis un pēdējais bija Mārcis. Tātad īstenībā Aldis nav melojis.
2) Pieņemsim, ka meloja Pēcis un pārējie zēni teica taisnību. Tad sanāk, ka īstenībā Aldis bija otrais vai trešais (viņš nemeloja), Pēcis bija pēdējais (viņš meloja), Didzis bija pirmais (viņš nemeloja) un Mārcis bija pēdējais (viņš arī nemeloja). Taču tagad sanāk, ka gan Pēcis, gan Mārcis skriešanās sacensībās bija pēdējie, taču tā nevar būt, jo pēdējais bija tikai viens no zēniem.
3) Pieņemsim, ka meloja Didzis un pārējie zēni teica taisnību. Tad sanāk, ka īstenībā Aldis bija otrais vai trešais (viņš nemeloja), Pēcis bija pirmais, otrais vai trešais (viņš nemeloja), Didzis bija otrais, trešais vai pēdējais (viņš meloja) un Mārcis bija pēdējais (viņš arī nemeloja). Šajā gadījumā nekādas pretrunas nerodas un sacensību rezultāts varēja būt sekojošs: Pēcis bija pirmais (jo par viņu ir teikts, ka viņš varēja pirmais), Mārcis bija pēdējais (kā viņš pats to apgalvo), bet Aldis un Didzis viens finišēja otrais un otrs - trešais.
4) Pieņemsim, ka meloja Mārcis un pārējie zēni teica taisnību. Tad sanāk, ka īstenībā Aldis bija otrais vai trešais (viņš nemeloja), Pēcis bija pirmais, otrais vai trešais (viņš nemeloja), Didzis bija pirmais (viņš nemeloja) un Mārcis bija pirmais, otrais vai trešais (viņš meloja, teikdams, ka ir pēdējais). Taču tagad sanāk, ka neviens nav bijis pēdējais, tātad šāds gadījums arī neder.
Esam izskatījuši visus gadījumus, un vienīgais gadījums, kas atbilst uzdevuma prasībām (ka viens zēns ir melojis un pārējie teikuši patiesību) ir 3), t.i., meloja Didzis, teikdams, ka ir pirmais, bet patiesībā sacensībās uzvarēja Pēcis.

JMK sākumlapa

JMK arhīvs

NMS sākumlapa