Jauno matemātiķu konkursa 2000./2001. m.g. 2. nodarbības uzdevumu atrisinājumi

1. Tāds skaitlis varētu būt, piemēram, 1573.
Saskaitīsim, cik pavisam ir minētā veida skaitļu (a, b, c, d - cipari). Vispirms saskaitīsim, cik ir tādu skaitļu, kuru pirmais cipars ir 6 (t.i., a=6). Tāds skaitlis jau vienā šķirā sakrīt ar skaitļiem 6972 un 6813, tātad b¹9, b¹8, c¹7, c¹1, d¹2, d¹3. Bet šim skaitlim vismaz vienā šķirā ir jāsakrīt arī ar skaitli 4512. Tā kā a¹4, c¹1 un d¹2, tad jābūt b=5. c var būt jebkurš cipars, izņemot 1 un 7, tātad pavisam 8 iespējas, d var būt jebkurš cipars izņemot 2 un 3, tātad arī 8 iespējas un pavisam ir 8×8=64 derīgie skaitļi, kuru pirmais cipars ir 6.
Līdzīgā veidā saskaitīsim skaitļus, kuru pirmais cipars ir 4 (a=4). Tādu pavisam ir 23.
Skaitļu, kuros a=1, ir 17, tikpat ir skaitļu, ja a=2, a=3, a=5, a=7, a=8, a=9. Tātad pavisam ir 64+23+17×7=206 minētā veida skaitļi.

2. Viens veids, kā no prasītā veida figūriņām salikt taisnstūri 6´10 rūtiņas, redzams 1.zīmējumā. Pavisam šim uzdevumam ir 2339 atrisinājumi.

3. Izteiksmi, kas satur tikai dalīšanas darbības, var pārveidot par parasto daļu. Ar iekavu palīdzību varam dažus skaitļus "nonest" saucējā vai "uzcelt" skaitītājā, tikai dotajā piemērā skaitlis 20 jebkurā gadījumā (lai arī kā saliekam iekavas) būs skaitītājā, bet skaitlis 19 vienmēr būs saucējā.

a) Daļai vislielākā vērtība būs tad, ja saucējs būs iespējami mazs, bet skaitītājs - iespējami liels. Tā kā iepriekš secinājām, ka 19 vienmēr būs saucējā, tad izteiksmei būs vislielākā vērtība, ja to varēs pārveidot par daļu

=20:(((((((((19:18):17):16):15):14):13):12):11):10)

b) Daļai vismazākā vērtība būs tad, ja saucējs būs iespējami liels, bet skaitītājs - iespējami mazs. Tā kā iepriekš secinājām, ka 20 vienmēr būs skaitītājā, tad izteiksmei būs vismazākā vērtība, ja to varēs pārveidot par daļu

=(((((((((20:19):18):17):16):15):14):13):12):11):10)

4. Uzdevumā minētie tūristi zina tieši divas no trim valodām (l-latviešu, k-krievu vai a-angļu). Trīs objektus pa divi var sadalīt trīs dažādos veidos: lk, la, ka. Tas nozīmē, ka starp minētajiem četriem tūristiem A, B, C un D ir vismaz divi (varbūt trīs vai arī visi četri), kas prot vienas un tās pašas valodas. Pieņemsim, ka tādi ir tūristi A un B un viņi abi prot tieši latviešu un krievu valodu. Tā kā arī tūristi C un D prot tieši divas no dotajām valodām - latviešu, krievu vai angļu, tad katrs no viņiem prot vai nu latviešu, vai krievu valodu (pretējā gadījumā viņi abi prastu tikai vienu valodu - angļu). Tātad gan C, gan D var sarunāties ar A un B, un līdz ar to visi četri tūristi var uzzināt visu informāciju viens no otra.

5. Dotais reizināšanas piemērs izskatījās sekojoši:

JMK sākumlapa

JMK arhīvs

NMS sākumlapa