Jauno matemātiķu konkursa 2000./2001. m.g. 5. nodarbības uzdevumu atrisinājumi

1. Pārveidojot skaitli decimāldaļā (t.i., dalot 1:13), iegūstam

Kā redzam, daļa =0,(076923) ir bezgalīga periodiska decimāldaļa ar perioda garumu 6 cipari. Tātad 31.vietā aiz komata atrodas tāds pats cipars kā 1.vietā aiz komata, jo 31=6×5+1. Tas ir cipars 0. Ja mēs šo ciparu izsvītrojam, tad jauniegūtajā skaitlī 31.cipars aiz komata būs cipars 7 (nākamais, kas seko aiz 0). Tā kā daļai un iegūtajam skaitlim ir 0 veseli un pirmie 30 cipari aiz komata sakrīt, tad lielāks būs tas, kuram lielāks 31. cipars aiz komata. Tā kā 7>0, tad iegūtais skaitlis ir lielāks nekā .

2. a) Skat., piem., 1.zīm.

b) To izdarīt nav iespējams. Piramīdai ir 4 virsotnes un 6 šķautnes, tātad kopā būtu jāieraksta 4+6=10 dažādi cipari. Tā kā pavisam ir tikai 10 dažādi cipari (0; 1; 2; ...; 9), tad visiem cipariem, arī 0, jābūt izmantotiem tieši vienu reizi. Cipars 0 var tikt ierakstīts tikai kādā no virsotnēm, jo visi cipari ir nenegatīvi skaitļi, un dažādu ciparu summa var būt tikai pozitīvs skaitlis. Ja kādā virsotnē ir ierakstīts cipars 0, tad uz šķautnes, kuras vienā galapunktā uzrakstīts cipars 0, bet otrā galapunktā - kāds cipars a, uzrakstītajam ciparam jābūt 0+a=a. Bet tā būt nedrīkst, jo visiem uzrakstītajiem cipariem jābūt dažādiem.

3. Veidosim skaitļu virknīti atbilstoši uzdevuma nosacījumiem. Pieraksts "101(1), 51" nozīmē, ka skaitli 51 iegūstam kā skaitļu 101 un 1 vidējo aritmētisko.

0, 101, 2001(101), 1051(101), 576(0), 288(0), 144(0), 72(0), 36(0), 18(0), 9(101), 55(101), 78(0), 39(9), 24(0), 12(0), 6(0), 3(55), 29(3), 16(0), 8(0), 4(0), 2(0), 1(2001), 1001

Kā redzam, visus prasītos skaitļus aprakstītajā veidā iegūt var.

4. Lai pārklātu kvadrātu 1010 rūtiņas, ir nepieciešamas 24 minētā veida fīgūriņas (skat., piem., 2.zīm.)

5. Pieņemsim, ka stāvošā ūdenī kuģis vienā dienā nobrauc attālumu x, bet plosts vienā dienā pa upi nopeld attālumu y (tāds ir arī straumes ātrums). Tad kuģis pa straumi (no Eglaines līdz Bērzainei) vienā dienā veic attālumu x+y= no visa ceļa starp Eglaini un Bērzaini, bet pret straumi vienā dienā kuģis nobrauc attālumu x-y= no visa ceļa. Atņemot no pirmās vienādības otro, iegūstam:

x+y-(x-y)=-
2y= jeb y=. Tas nozīmē, ka plosts vienā dienā nobrauc no attāluma starp Eglaini un Bērzaini, tātad pavisam plosts ceļā pavadīs 15 diennaktis.

JMK sākumlapa

JMK arhīvs

NMS sākumlapa