Jauno matemātiķu konkursa 2001./2002. m.g. 4. nodarbības uzdevumu atrisinājumi

1. Apgalvojums "katra taisne ir paralēla tieši četrām citām taisnēm" izsaka 5 paralēlu taišņu kopu. Tā kā ir pavisam 15 taisnes, tad ir trīs dažādas paralēlu taišņu kopas (skat. 1. zīm.). Trijstūrī nekādas divas malas nav paralēlas, tāpēc viena mala jāņem no vienas paralēlo taišņu kopas (jebkuru no šīm 5 taisnēm), otra - no otras, trešā - no trešās. Tātad pavisam var izveidot 5×5×5=125 dažādus trijstūrus.

2. Ja Gunis visu darbu var izdarīt 3 dienās, tad vienā dienā viņš var padarīt visa darba. Līdzīgi vienā dienā Dunis padara , Zumis - , Rausis - , Buzis - un Auša - visa darba. Lai noskaidrotu, cik ilgā laikā rūķīši padarīs darbu, strādājot kopā, aprēķināsim, kuru daļu no visa darba tie var padarīt 1 dienā (strādājot kopā). (Ņemiet vērā: var saskaitīt padarīto darbu, bet ne dienas!)

+++++= no visa darba (tātad strādājot kopā, rūķīši vienā dienā var padarīt vairāk nekā visu uzdoto darbu). Lai noteiktu, cik ilgā laikā rūķīši to izdarīs, jāņem darba daļai apgrieztā daļa, tātad rūķīši strādās dienas. Tā kā zinām, ka dienā rūķīši strādā 10 stundas, tad kopā strādājot viņiem vajadzēs 10×=h»8h30min.

Ņemot vienādu skaitu rūķīšu, darbs tiks padarīts ātrāk, ja strādās čaklākie rūķīši. Ievērosim, ka 4 čaklākie rūķīši, strādājot kopā, vienā dienā var padarīt +++=<1 daļu no visa darba, tātad ar 4 rūķīšiem nepietiek, lai visu padarītu vienā dienā. Vēl jāņem palīgos vismaz viens rūķītis, kurš dienā var izdarīt vismaz 1-== daļu darba (t.i., tāds rūķītis, kurš viens pats strādātu ne vairāk kā 20 dienas). Šoreiz der gan Buzis, gan Auša. Tātad, lai visu darbu padarītu vienā dienā, pie darba jāķeras vismaz pieciem rūķīšiem.

3. Izpildot dalīšanu, iegūstam:

Katrs nākošais cipars dalījumā atkarīgs tikai no tā atlikuma, kurš iegūts iepriekšējā dalīšanas solī. Ja turpināsiet dalījumu redzēsiet, ka dalījumu atlikumi atkārtojas, tātad atkal parādīsies divdesmit divu ciparu grupa 0434782608695652173913, pēc tam atkal notiks tas pats utt.

Tā kā 2002=22×91, tad izsvītrotais cipars ir perioda pēdējais cipars, t.i., cipars 3. Tātad sākotnējam un iegūtajam skaitlim pirmie 2001 cipari aiz komata sakrīt, bet nākošais cipars sākotnējam skaitlim - 3 - ir lielāks nekā iegūtajam skaitlim - 0. Tāpēc sākotnējais skaitlis ir lielāks.

4. Samazināsim katru karoga joslu par vienu spuldzīti, tagad tā izmēri ir 33. Tā kā firmas rīcībā ir 4 dzeltenas, 5 zilas un 6 sarkanas spuldzītes, tad karoga joslas varētu būt šādās krāsās

a) 1 zila, 1 dzeltena, 1 sarkana,

b) 1 zila, 2 sarkanas,

c) 1 dzeltena, 2 sarkanas.

Katrā gadījumā aplūkojot neizmantotās spuldzītes, no kurām tiek izvēlētas atlikušās 3, kā arī ņemot vērā krāsaino joslu secību, iegūstam atbildi: 3448 veidi.

5. Uzvarēs pirmais spēlētājs. Viņam jāspēlē tā: ar katru savu gājienu viņš ēd konfektes tikai no lielākās kaudzītes, turklāt pirmajā gājienā jāapēd ir tieši 22 konfektes, bet katrā nākošajā - tik cik ar savu gājienu ir notiesājis otrais spēlētājs.

JMK sākumlapa

JMK arhīvs

NMS sākumlapa