Jauno matemātiķu konkursa 2002./2003. mācību gada
1.kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. uzdevums

Atbilde: skat. 1. zīm.

2. uzdevums

Atbilde: Brencis pazīst 15 skaitļus, kuru summa ir 1470.

Risinājums. Tā kā Brencis pazīst tikai 3 dažādus ciparus, tad viņš pazīst tikai 3 viencipara skaitļus 1; 2; 3. Brenča zināmajiem divciparu skaitļiem pirmais cipars var būt jebkurš no cipariem 1, 2 vai 3 – tātad 3 iespējas, bet otrais cipars – jebkurš no atlikušajiem diviem cipariem. Tātad Brencis pavisam pazīst 23=6 divciparu skaitļus. (Tie ir 12; 13; 21; 23; 31; 32.) Līdzīgi noskaidrojam, ka Brencis pazīst 321=6 trīsciparu skaitļus. (Tie ir 123; 132; 213; 231; 312; 321.) Skaidrs, ka Brencis nepazīst nevienu skaitli, kura pierakstā ir četri vai vairāk cipari, jo skaitlī visiem cipariem jābūt dažādiem un Brencis zina tikai trīs ciparus. Tātad pavisam Brencis pazīst 3+6+6=15 dažādus skaitļus.
Vispirms noskaidrosim visu Brenča zināmo viencipara skaitļu summu: 1+2+3=6. Visos sešos zināmajos divciparu skaitļos katrs no dotajiem cipariem tieši divas reizes ir kā vienu cipars un tieši divas reizes ir desmitu cipars. Tāpēc visu Brenča divciparu skaitļu summu var aprēķināt sekojoši:
2
(1+2+3)10+2(1+2+3)=120+12=132. 
Līdzīgi aprēķināsim Brencim zināmo trīsciparu skaitļu summu (visos šajos skaitļos katrs cipars tieši divas reizes ir kā vienu cipars, divas reizes kā desmitu cipars un divas reizes kā simtu cipars):
2
(1+2+3)100+2(1+2+3)10+2(1+2+3)=1200+120+12=1332.
Tātad visu Brencim zināmo skaitļu summa ir 6+132+1332=1470.

Piezīme: protams, konkrētajā uzdevumā viegli varēja aprēķināt summu, vienkārši saskaitot visus 15 skaitļus. Taču ir vērts iepazīties ar doto risinājumu, jo tajā parādīts vispārīgs paņēmiens līdzīgu uzdevumu risināšanai.

3. uzdevums

Atbilde: Limpopo dzīvo 490 iedzīvotāji.

Risinājums. Attēlosim visus salas iedzīvotājus ar Eilera riņķiem – viena riņķa iekšpusē atrodas visi cilvēki, kas runā, burbur valodā, otra riņķa iekšpusē – tie, kas runā cipcip valodā, trešajā riņķī – tie, kas runā tamtam valodā. Apgabalā, kas kopīgs diviem riņķiem, atrodas tie, kas prot abas divas valodas utt. (skat. 2. zīm.). Ieviesīsim iedzīvotāju skaita apzīmējumus: 
B – runā tikai burbur valodā; 
C – runā tikai cipcip valodā; 
T – runā tikai tamtam valodā; 
BC – prot tikai burbur un cipcip valodas; 
BT – prot tikai burbur un tamtam valodas; 
CT – prot tikai cipcip un tamtam valodas; 
BCT – zina visas trīs valodas; 
S – visu Limpopo iedzīvotāju skaits.

Cilvēki, kas nerunā kādā valodā, atrodas apgabalos ārpus konkrētā riņķa. (Piemēram, tie kas nerunā burbur valodā, izvietojušies pa apgabaliem C, CT un T.) Tad saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem iegūstam sekojošus vienādojumus:

B+C+BC=200      (1)
C+T+CT=210      (2)
B+T+BT=220       (3)

Saskaitot (1), (2) un (3) vienādojumus, iegūstam

2×(B+C+T)+BC+BT+CT=630 jeb BC+BT+CT=630-2×(B+C+T)

Ņemot vērā to, ka tikai vienu valodu prot 180 cilvēki jeb B+C+T=180, iegūstam, ka tieši divas valodas zina

BC+BT+CT=630-2×180=270 iedzīvotāji.

Tā kā Limpopo dzīvo cilvēki, kas zina tikai vienu valodu, vai tādi, kas zina tieši divas valodas, vai cilvēki, kas zina tieši trīs minētās valodas, un nekādi citi, tad kopējais iedzīvotāju skaits

S=(B+C+T)+(BC+BT+CT)+BCT=180+270+40=490.

4. uzdevums

Atbilde: 9 nogriežņi.

Risinājums. Vispirms apskatīsim, cik, visaugstākais, nogriežņus, lai tie nekrustotos, plaknē var novilkt starp 4 punktiem. Pavisam starp 4 punktiem var novilkt 6 nogriežņus. 3. zīmējumā parādīts piemērs, kad starp 4 punktiem novilkti 6 nogriežņi un nekādi divi no tiem nekrustojas. Pie tam ievērosim, ka šie četri punkti noteikti veido ieliektu četrstūri. Izliekta četrstūra gadījumā abas diagonāles atrodas četrstūra iekšpusē, tāpēc nevar novilkt abas diagonāles tā, lai tās nekrustotos. Tātad apskatāmajā četru punktu sistēmā novelkot visus iespējamos nogriežņus, iegūstam trijstūri, kuram iekšpusē atzīmēts viens punkts.

Tagad 4 punktu sistēmai pievienosim piekto punktu. To var ielikt vai nu vienā no mazajiem trijstūriem ABD, ACD vai BCD (skat. 3. zīm.) vai arī ārpus lielā trijstūra. Pirmajā gadījumā vēl var novilkt 3 jaunus nogriežņus, kas nekrusto nevienu no jau novilktajiem nogriežņiem. Otrajā gadījumā, atkarībā no punkta izvēles, var novilkt vai nu 2, vai 3 jaunus nogriežņus atbilstoši uzdevuma nosacījumiem.

Tātad plaknē starp 5 punktiem augstākais var novilkt 6+3=9 nogriežņus. Piemēru skat. 4. zīm..

5. uzdevums

Atbilde: 1) vismaz 10 šokolādītes; 2) vismaz 16 šokolādītes.

Risinājums. Uzdevumā prasīts noskaidrot mazāko iespējamo summu, tātad jāizvēlas vismazākie uzdevumam atbilstošie saskaitāmie un jāatrod to summa. Pēc tam noteikti ir jāuzrāda piemērs, kas apstiprina tāda gadījuma iespējamību.

1) Ja kāds bērns neēda šokolādes (tātad “apēda” 0 šokolādes) un visi pārējie apēda dažādu skaitu šokolādīšu, tad mazākā iespējamā summa ir 0+1+2+3+4=10 šokolādītes. Tā kā katrā pauzē tika apēstas tieši 2 šokolādītes, tad pavisam bija 5 reklāmas pauzes. 5. zīmējuma piemērs parāda, ka šāds gadījums iespējams. (Zīmējumā ar burtiem apzīmēti bērni, ar cipariem reklāmas pauzes, bet zvaigznīte norāda kurā pauzē kurš bērns apēda vienu šokolādīti.)

2) Tā kā katrs bērns apēdis vismaz vienu šokolādīti, tad tagad mazākā iespējamā summa ir 1+2+3+4+5=15. Taču katrā pauzē tika apēstas tieši 2 šokolādes, tātad kopējam apēsto šokolādīšu skaitam jādalās ar 2 jeb jābūt pāra skaitlim. Mazākais pāra skaitlis, kas nav mazāks par 15, ir 16. Tātad šajā gadījumā tika apēstas vismaz 16 šokolādītes un bērni redzēja 16:2=8 reklāmas pauzes. Šī gadījuma piemēru skat. 6.zīm..

1. kārtas uzdevumi

JMK 2002./03.m.g.

NMS sākumlapa