Jauno matemātiķu konkursa 2002./2003. mācību gada
2.kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. uzdevums

Atbilde: viens dārgumu meklētājs ieguva 990 dālderus, otrs – 770 dālderus.

Risinājums. Tā kā ir tikai divi dārgumu meklētāji, tad, ja viens dārgumu meklētājs ieguva par 30 dālderiem vairāk nekā bija plānots sākumā, tad otrs – par 30 dālderiem mazāk nekā plānots sākumā. Vispirms noskaidrosim kura daļa no visiem dālderiem ir šie 30 dālderi. Sākumā bija plānots, ka pirmais dārgumu meklētājs saņems  no visiem dālderiem, bet faktiski viņš dabūja  no visiem dālderiem. Aprēķinām starpību , tātad  no visiem dālderiem ir 30 dālderi un  no visiem dālderiem ir 10 dālderi. Tātad pavisam bija 176 reizes vairāk jeb 10176=1760 dālderi.
Tagad varam aprēķināt, ka pirmais dārgumu meklētājs saņēma
1760=990 dālderus, bet otrs 1760=770 (jeb 1760-990=770) dālderus.

2. uzdevums

a) Uzdevumā bija prasīts tikai noskaidrot, vai eksistē šādi divi skaitļi, tāpēc atrisinājumā pietiek uzrādīt vienu skaitļu pāri, kur izpildās dotais nosacījums, piemēram 89+34=123.

Atrisināsim uzdevumu, ja būtu prasīts atrast visus īpašo divciparu skaitļu pārus, kuru summa arī ir īpašais skaitlis. Pavisam ir 8 īpašie divciparu skaitļi – to pirmais cipars var būt 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (0 nevar būt, jo tad nebūs divciparu skaitlis; 9 nevar būt, jo nākamajam ciparam jābūt 9+1=10, bet tāda cipara nav), pie tam jebkuru īpašu divciparu skaitli varam uzrakstīt kā 10n+(n+1)=11n+1, kur n ir 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 vai 8. Tātad divu īpašu skaitļu 11a+1 un 11b+1 (a un b – cipari, izņemot 0 un 9) summa ir (11a+1)+(11b+1)=11(a+b)+2. Tagad šķirosim sekojošus gadījumus:
I ja a+b<9 (tātad ir skaitlis no 1 līdz 8), tad 11(a+b)+2 ir divciparu skaitlis, bet nav īpašs skaitlis, jo īpaši skaitļi uzrakstāmi formā 11n+1;
II ja a+b9, tad 11(a+b)+2 ir trīsciparu skaitlis, pie tam 11(a+b)+211(8+8)+2=178. Vienīgais trīsciparu īpašais skaitlis, kas mazāks par 178, ir 123. Tātad 11(a+b)+2=123  11(a+b)=121  a+b=11.
Pārbaudot, redzam, ka tiešām der skaitļu pāri 89+34=123; 78+45=123; 67+56=123. Tie arī ir vienīgie divciparu īpašo skaitļu pāri, kas apmierina uzdevuma nosacījumus.

b) Nē, tādus divus trīsciparu īpašos skaitļus atrast nevar. Īpašo trīsciparu skaitli var uzrakstīt formā 100n+10(n+1)+n+2=111n+12, kur n ir cipars 1, 2, 3, 4, 5, 6 vai 7 (0, 8, 9 neder līdzīgi kā a) gadījumā). Divu trīsciparu īpašu skaitļu summu var uzrakstīt (111a+12)+(111b+12)=111(a+b)+24 (a un b ir 1, 2, ..., 7). Atkal šķirosim divus gadījumus:
I ja a+b<9, tad 111(a+b)+24 ir trīsciparu skaitlis, bet nav īpašs skaitlis;
II ja a+b9, tad 111(a+b)+24 ir četrciparu skaitlis, pie tam 111(a+b)+24111(7+7)+24=1578. Mums varētu derēt vienīgi īpašais četrciparu skaitlis 1234. Tad 111(a+b)+24=1234 111(a+b)=1210; tā kā a+b ir naturāls skaitlis, tad 1210 ir jādalās gan ar 111, ga ar a+b, bet 1210 nedalās ar 111. Tātad prasītā veida trīsciparu skaitļi neeksistē.

Piezīme. Tā kā pavisam ir tikai 7 īpašie trīsciparu skaitļi, tad šo uzdevumu varēja arī atrisināt, tieši pārbaudot visu šo skaitļu summas pa divi; pavisam jāveic (67):2=21 pārbaude.

3. uzdevums

Atbilde: bulciņa maksā 13 sant., saldējums 27 sant. un limonāde 53 sant.

Risinājums. Pieņemsim, ka bulciņa maksā b sant., limonāde – l sant. un saldējums - s santīmus. Pēc uzdevuma nosacījumiem varam uzrakstīt sekojošas sakarības:
b+s+l=93  (1);
s
<30  (2);
l=2b+s  (3);
4b<l<2s  (4).
No (3) vienādības izteiksim s=l-2b un ievietosim (1) vienādībā:
b+(l-2b)+l=93 Þ 2l-b=93  (5)
Tā kā limonāde maksā vairāk nekā 4 bulciņas (l>4b), limonādes vietā ņemot 4 bulciņas, kopējā summa būs mazāka; vienādībā (5) aizstājot l ar 4b, sākotnējā izteiksmes vērtība samazinās, tātad iegūstam 24b-b<93. Tātad 7b<93 un b<. Tā kā b ir bulciņas cena santīmos – vesels skaitlis, tad varam rakstīt, ka b13.
Aprēķināsim l=(93+b):2 un s=93-l-b, izmantojot visas iespējamās b vērtības. Skaidrs, ka b jābūt nepāra skaitlim, citādi l nesanāk naturāls skaitlis.
Ja b=13, tad l=53 un s=27 (apmierina visus uzdevuma nosacījumus).
Ja b11, tad l52 un s
30 – neapmierina nosacījumu (2).

Tātad uzdevumam ir tikai viena atbilde: bulciņa maksā 13 sant., saldējums 27 sant. un limonāde 53 sant.

4. uzdevums

 Atbilde: Skat. 1. zīm., kur griezuma līnijas ir AK – daļa no ABC augstuma un EF – ABC viduslīnija.

Pamatojums. Jāpamato, ka iegūtais četrstūris CK1K2B ir taisnstūris, t.i., visi tā leņķi ir taisni.

Griežot iegūtas daļas EKA, AKF un CEFB savietojam tā, ka nogrieznis EA sakrīt ar nogriezni EC un nogrieznis AF sakrīt ar nogriezni FB (šie nogriežņi tiešām sakrīt, jo E un F ir atbilstoši malu AC un AB viduspunkti, tātad sadala šos nogriežņus divās vienādās daļās), pie tam virsotne A sakrīt atbilstoši ar virsotnēm C un B.

EF ir ABC viduslīnija, tātad EF||CB. Tā kā AH ir augstums, tad AHCB un AHEF (ja taisne ir perpendikulāra vienai no paralēlajām taisnēm, tad tā ir perpendikulāra arī otrai taisnei). Tātad EKA=FKA=90° un arī EK1C=FK2B=90°.
ECB=AEF (kā kāpšleņķi pie paralēlām taisnēm CB un EF, kuras krusto taisne AC). Savukārt KEA+EAK=90° (kā taisnleņķa trijstūra EAK šaurie leņķi), Tātad arī ECB+EAK=ECB+ECK1=BCK1=90°.
Tā kā četrstūrī CK1K2B trīs leņķi (
K2K1C, K1K2B, K1CB) ir taisni, tad arī ceturtais leņķis K2BC=360°-390°=90°, tātad četrstūris CK1K2B ir taisnstūris.

5. uzdevums

Atbilde: ne noteikti.
Pamatojums. Iespējams, ka uz sarkanajām kartītēm ir uzrakstīti tikai pāra skaitļi, uz zilajām – tikai nepāra skaitļi (no 1 līdz 100 ir tieši 50 pāra un 50 nepāra skaitļi). Bet trīs pāra skaitļu reizinājums (dalās ar 2) nevar būt vienāds ar trīs nepāra skaitļu reizinājumu (ar 2 nedalās).
Iespējami arī citi “nelabvēlīgi” sadalījumi, taču šī uzdevuma atrisinājumā pietiek uzrādīt tikai vienu gadījumu, kad uzdevuma prasības nav izpildāmas.

2. kārtas uzdevumi

JMK 2002./03.m.g.

NMS sākumlapa