Jauno matemātiķu konkursa 2002./2003. mācību gada
5.kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. uzdevums

Apzīmēsim dalītāja nezināmos ciparus ar AB, bet dalījuma ciparus ar CD (skat.1a) zīm.). Tad viegli ievērot, ka C=1; gadījumā, ja C>1, tad 6AB×C būtu lielāks nekā 600×2=1200 – četrciparu skaitlis. Vēl ievērosim, ka 6AB×D=3210. Tā kā 6AB×4=2796<3210 un 6AB×6=3600>3210, tad vienīgā iespējamā D vērtība ir 5. Izdalot 3210:5=642, iegūstam dalītāju (A=4 un B=2) un varam atjaunot doto piemēru (skat. 1b) zīm.).

  

2. uzdevums

Tā kā Pūks pie Trusīša ciemojās 30 minūtes, bet pavisam prom bija 55 minūtes, tad ceļā viņš pavadīja 25 minūtes.

Tā ar tukšu vēderu Pūks iet 1,5 reizes ātrāk nekā paēdis, tad atpakaļceļa viņš pavadīs 1,5 reizes vairāk laika nekā ejot pie Trusīša. Pieņemsim, ka līdz Trusīša mājai (ar tukšu vēderu) Pūks gāja x minūtes, tad uz mājupceļā viņš pavadīja 1,5x minūtes. Iegūstam šādu vienādojumu:

x+1,5x=25

2,5x=25

x=10 (minūtes turpceļā) un 1,5x=15 (minūtes atpakaļceļā).

Tātad brīdī, kad Pūks pārradās mājās, pareizs laiks bija 12:45 (12:30+0:15).

3. uzdevums

Atbilde: ar 5 svēršanām pietiek.

1.svēršana. Sadala visas 243 monētas 3 kaudzītēs, katrā pa 81 monētai. Uz svaru kausiem uzliek pa vienai kaudzītei, viena kaudzīte paliek malā. Ja svari ir līdzsvarā, tad viltotā monēta ir trešajā kaudzītē; ja kāds no svaru kausiem ir vieglāks, tad viltotā monēta ir tajā kaudzītē, kas ir uz šī svaru kausa.

2.svēršana. Tagad ņem to kaudzīti (81 monētu), kurā ir viltotā monēta. Sadala šīs 81 monētu atkal 3 kaudzītēs, katrā pa 27 monētām, un rīkojas līdzīgi kā iepriekš. Tagad noskaidro, starp kurām 27 monētām ir viltotā.

3.svēršana. Tagad trīs kaudzītēs dala tās 27 monētas, starp kurām ir viltotā monēta, katrā kaudzītē būs 9 monētas. Svēršanas rezultātā noskaidro, starp kurām 9 monētām ir viltotā.

4.svēršana. Rīkojoties līdzīgi kā iepriekš, atrod 3 monētas, starp kurām ir viltotā monēta.

5.svēršana. Uz svaru kausiem uzliek pa vienai monētai no tām trim monētām, starp kurām ir viltotā. Ja svari ir līdzsvarā, tad viltotā monēta ir trešā malā palikusī; ja kāds svaru kauss ir vieglāks, tad viltotā monēta ir uz tā.

Šādi rīkojoties noteikti varēs atrast viltoto monētu.

4. uzdevums

Ja griezuma līnijām jāiet pa rūtiņu malām, tad nevar izgriezt vairāk par 4 figūrām, skat., piemēram, 2.zīm..

Vairāk figūriņas tādā gadījumā izgriezt nevar, pierādīsim to. Skaidrs, ka kvadrāta stūra rūtiņas paliks brīvas – tajās nevar ievietoties nekāda daļa no dotās figūriņas. Kvadrāta 66 vienai malai var pieskarties ne vairāk kā 2 figūriņas, katra ar vienu rūtiņu. Tātad pie katras malas paliek neizmantotas vēl vismaz 6-2(figūru aizņemtās rūtiņas)-2(stūru rūtiņas)=2 rūtiņas. Kvadrātam ir četras malas, tātad kopā neizmantojamas ir vismaz 4+4×2=12 rūtiņas. Kvadrātā 66 pavisam ir 36 rūtiņas, tad dotās figūriņas kopā var ievietoties ne vairāk kā 36-12=24 rūtiņās. Bet tā kā 5×5=25>24, tad no kvadrāta 66 var izgriezt ne vairāk kā 4 dotās figūriņas tā lai griezuma līnijas ietu pa rūtiņu malām.

5. uzdevums

Apzīmēsim bērnu gadus ar a, b, c, d, pie tam pieņemsim, ka a£b£c£d. Izveidosim tabulu, kurā uzrakstīsim visas iespējamās a, b, c, d vērtības, lai to reizinājums būtu 40, un aprēķināsim summu a+b+c+d.

a b c d summa
1 1 1 40 43
1 1 2 20 24
1 1 4 10 16
1 1 5 8 15
1 2 2 10 15
1 2 4 5 12
2 2 2 5 11

Gadījumā, ja minētā ģimene dzīvotu dzīvoklī ar numuru 43, 24, 16, 12, vai 11, kaimiņš uzreiz varētu pateikt cik gadu ir katram bērnam (jo kaimiņš zina dzīvokļa numuru un katram no šiem numuriem atbilst tikai viena iespēja). Taču, tā kā kaimiņam ar šo informāciju nepietika, tad skaidrs, ka minētā ģimene dzīvo 15.dzīvoklī – šim gadījumam mūsu tabulā atbilst divas rindiņas, t.i., 1g.,1g., 5g., 8g. vai 1g., 2g., 2g., 10g.. Pēc papildus informācijas, ka jaunākie bērni ir dvīņi, tapa skaidrs, ka diviem mazākajiem skaitļiem jābūt vienādiem, tātad bērnu vecumi ir 1g.,1g., 5g., 8g..

5. kārtas uzdevumi

JMK 2002./03.m.g.

NMS sākumlapa