Uzdevumi

JMK 1992./93. m.g. 1. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. a) Jā, var. Skat., piemēram, 33. zīm.
Figūriņu sauksim par L-veida figūriņu, bet figūriņu - par kvadrātiņu 22 rūtiņas.
Ievērosim, ka divas L-veida figūras var novietot tā, ka tās veido taisnstūri 24 rūtiņas. Tā kā kvadrātu 88 rūtiņas var sadalīt 8 taisnstūros 24 rūtiņas, tad doto šokolādes tāfelīti var sadalīt 16 L-veida figūrās.

b) Šokolādes tāfelīte sastāv no 64 kvadrātiņiem. Arī kvadrātiņu skaits 15 L-veida figūriņās un 1 kvadrātiņā 22 rūtiņas kopā ir 64. Varētu likties, ka uzdevuma prasība, tāpat kā a) gadījumā būs izpildāma. Tomēr vairākkārtēji neveiksmīgi mēģinājumi liek domāt, ka atbilde uz uzdevumā prasīto varētu būt negatīva. (Šeit skaidri jāsaprot: ja rūtiņu skaits sākotnējā kvadrātā būtu citāds, nekā visos iegūstamajos gabaliņos kopā, tad salaušanu noteikti nevarētu izdarīt; turpretī rūtiņu skaita vienādība salaušanas iespēju vēl negarantē. Skat., piem., 34. zīm., kur pa kreisi attēlotajā figūrā rūtiņu skaits ir tāds pat kā abās pa labi attēlotajās kopā, tomēr šīs daļas nav iegūstamas sagriežot pa kreisi attēloto figūru.

Matemātiķi šādos gadījumos saka: rūtiņu skaitu vienādība ir nepieciešams, bet ne pietiekams nosacījums tam, lai sagriešanu varētu izdarīt.)
Pamatosim to, ka salaušana nav izdarāma (mūsu vairākkārtējie neveiksmīgie mēģinājumi vieni paši, protams, nav pietiekami, lai to apgalvotu; varbūt vēl pēc dažu stundu pūlēm mums izdotos iegūt vajadzīgo?)
Nokrāsosim šokolādes tāfelīti tā, kā parādīts 35. zīm.: pārmaiņus viena kolonna melna, otra balta, utt. Rezultātā 32 lauciņi ir melni un 32 - balti. Ievērosim: lai arī kā L-veida figūriņa nebūtu nolauzta no šokolādes tāfelītes, tā noteikti saturēs vai nu vienu, vai trīs melnus kvadrātiņus. Tātad tā saturēs nepāra skaitu melnu kvadrātiņu. Savukārt, lai kurā vietā arī nebūtu nolauzta figūriņa 22 rūtiņas, tā noteikti saturēs divus melnus kvadrātiņus.

Pieņemsim, ka mums ir izdevies salauzt šokolādes tāfelīti atbilstoši uzdevuma nosacījumiem. Tad 15 L-veida figūriņās kopā ir nepāra skaits melno kvadrātiņu, bet figūriņā 22 kvadrātiņi ir divi melni kvadrātiņi, no kurienes seko, ka visās 16 figūriņās kopā ir nepāra skaits melno kvadrātiņu. Tas ir pretrunā ar mūsu izveidoto krāsojumu: melnā krāsā nokrāsoti 32 - pāra skaits - kvadrātiņu. Tātad mūsu pieņēmums par iespēju salauzt tāfelīti norādītajās daļās ir aplams un uzdevuma prasība nav izpildāma.

2. Apskatīsim visas iespējamās trīs naturālu skaitļu kombinācijas, kuru elementu reizinājums ir 36 (secība nav svarīga). Šie trīs skaitļi a; b; c varētu būt iespējamie Jāņa bērnu vecumi (skat. 36. zīm.). Līdztekus aplūkosim arī skaitļu a, b, c summu. Skaidrs, ka autobusa numuram vajadzētu sakrist ar kādu no skaitļiem 38; 21; 16; 14; 13; 11; 10.

Padomāsim, kā veidotos saruna, ja garāmbraucošā autobusa numurs būtu 38. Tad Pēteris bez šaubīšanās varētu pateikt, ka Jāņa bērnu vecumi ir 1 gads, 1 gads un 36 gadi (diezgan neticams variants!), jo summa 38 atbilst tikai vienai reizinātāju a; b; c kombinācijai. Līdzīgi spriežam par gadījumiem, kad autobusa numurs būtu 21, 16, 14, 11 vai 10.
Vienīgi gadījumā, ja autobusa numurs 13, ir saprotama Pētera neziņa: viņš nevar izšķirties starp divām iespējām - 1 gads, 6 gadi, 6 gadi un 2 gadi, 2 gadi, 9 gadi. Jāņa piebilde: "Bet vecākais dēls man ir zilacis" šo jautājumu atrisina. Kļūst skaidrs, ka ir viens vecākais dēls, tātad Jāņa bērnu vecumi ir 2 gadi, 2 gadi un 9 gadi.

3. Kā redzams 37. zīm., valstī varētu būt 49 aviolīnijas, kas savieno galvaspilsētu G ar pērējām 49 pilsētām P1, P2, ..., P49.

Tagad pierādīsim, ka vismaz 49 aviolīnijām noteikti jābūt. Valstī noteikti eksistē divas pilsētas A1 un A2, kuras ir savā starpā savienotas ar aviolīniju. Tā kā no katras pilsētas var aizbraukt uz katru, šī divu pilsētu sistēma nevar būt izolēta no pērējām, tāpēc ir kāda pilsēta A3, kura ir savienota ar aviolīniju ar kādu no pilsētām A1 vai A2. (Tātad starp šīm trim pilsētām noteikti ir vismaz divas aviolīnijas.)
Arī šo trīs pilsētu sistēma nevar būt izolēta no pārējām, tāpēc eksistē kāda pilsēta A4, kura noteikti savienota ar kādu no pilsētām A1, A2, A3. (Tātad starp šīm četrām pilsētām noteikti ir vismaz trīs aviolīnijas.)
Spriedumu analoģiski turpinot, iegūstam, ka valstī ir vismaz 49 aviolīnijas ("pievienojot" sistēmai vienu pilsētu, pievienojas arī vismaz viena aviolīnija.)
Ievērosim: to, ka nepieciešamas vismaz 49 aviolīnijas, nosaka prasība, lai no katras pilsētas vispār varētu aizbraukt uz katru citu, nevis tas, lai to varētu izdarīt uzdevuma nosacījumos aprakstītajā "ekonomiskajā" veidā.

4. Ievērosim, ka (2×5)×(4×15)×10=6000. Pareizinot skaitli 6000 ar pārējiem reizinātājiem, rezultātā pēdējie trīs cipari vienmēr paliks nulles.
Tātad apskatāmā reizinājuma trīs pēdējie cipari ir 000.

5. Šāda tipa uzdevumos atbilde principā varētu būt jebkura.
Tiešām, varētu taču gadīties, ka uzdevuma sastādītājs iedomājies, piemēram, šādu likumu:
"pirmie septiņi virknes locekļi ir 3; 4; 7; 14; 29; 60; 123, bet visi tālākie - vieninieki",
vai kaut ko analoģisku.
Tāpēc šādus uzdevumus parasti nepiedāvā matemātikas olimpiādēs, kurās katrs risinājuma solis stingri jāpamato un risinājums precīzi jānovērtē punktu izteiksmē. Piedāvājot šādus uzdevumus konkursos, tiek ņemts vērā risinājuma skaistums, vienkāršība, risinātāja fantāzija - lietas, kuras novērtēt ar punktiem ir ļoti grūti, ja ne neiespējami.
Atzīmēsim, ka parasti uzdevuma autora iedomātais likums atšķiras no pārējiem ar to, ka tas ir ievērojami vienkāršāks un neizmanto dažādas "izņēmuma vērtības" (kā augšminētajā piemērā, kur likums pirmajiem septiņiem virknes locekļiem darbojas pavisam citādi nekā pārējiem).
Šai gadījumā uzdevuma autori likumu veidojuši, pievēršot uzmanību virknē blakusesošo locekļu starpībām. Ievērosim: tās ir 1; 3; 7; 15; 31; 63 - par vienu mazākas nekā secīgas divnieka pakāpes 2; 4; 8; 16; 32; 64.
Tātad saskaņā ar autoru iedomāto likumu virknes nākošos locekļus varēs iegūt, iepriekšējam pēc kārtas pieskaitot 127; 255; 511; 1023; 2047 utt. Tāpēc pieci nākošie virknes locekļi, rīkojoties pēc šāda likuma, būtu 250; 505; 1016; 2039; 4086. Iesakām lasītājam patstāvīgi pierādīt: pēc šāda (autoru iecerētā) likuma jebkuru virknes locekli ar numuru n (to varam apzīmēt ar an, lasa: "a ar indeksu en") var aprēķināt pēc formulas an=2n+1-n.

JMK arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa