Uzdevumi

JMK 1992./93. m.g. 2. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. Piemēram, var rīkoties tā, kā parādīts 38. zīm.
"Nesašķeļot" visus trīs divciparu skaitļus, uzdevums nav atrisināms. Visās daļās esošo skaitļu summai kopā jābūt 17+17+17=51. Ja "nesašķeļam" nevienu no tiem, šī summa ir 1+2+3+...+12=78; sašķeļot vienu no tiem, summa ir 69 (pārbaudiet!); "sašķeļot" divus, tā ir 60 (pārbaudiet!).
Jautājums zinātkāram lasītājam: kā izskaidrot faktu, ka "sašķeļot" vienu (vienalga, kuru), iegūto 13 skaitļu summa visos gadījumos ir viena un tā pati? Kā izskaidrot faktu, ka "sašķeļot" divus skaitļus, (vienalga, kurus), iegūto 14 skaitļu summa visos gadījumos ir viena un tā pati?

2. Šie izmēri varētu būt 3 un 6. Tiešām, laukums tad ir 3×6=18, bet perimetrs 3+6+3+6=18.
Papildus noskaidrosim, vai tā ir vienīgā iespēja.
Apzīmēsim meklējamā taisnstūra malu garumus ar x un y. Tad xy=2x+2y jeb xy-2x-2y+4=4, jeb (x-2)(y-2)=4 (1)
Izmantosim vienādību (1). Tā kā x un y ir naturāli skaitļi, tad x-2 un y-2 var būt tikai veseli skaitļi - skaitļa 4 dalītāji. Visas iespējas parādītas 39. zīm.

Redzam, ka uzdevuma prasības apmierina vienīgi taisnstūris ar izmēriem 36 un kvadrāts ar izmēriem 44, jo daudzstūra malu garumi nevar būt negatīvi skaitļi vai 0.

3. Tā kā skolēnu skaitam jābūt veselam skaitlim, tad skaitlim, kas izsaka skolēnu skaitu klasē, noteikti jādalās ar 7, ar 3 un ar 2. Vienīgais skaitlis, kurš apmierina šo prasību un pie tam ir mazāks par 50, ir 42. Tātad atzīmi "9" saņēma seši skolēni, atzīmi "8" - 14 skolēni, atzīmi "7" saņēma 21 skolēns. Tā kā 42-6-14-21=1, tad neapmierinošu vērtējumu saņēma viens skolēns.

4. Skat., piemēram, 40.zīm.

5. Papīra lapu var saplēst gan 61, gan 1993 gabaliņos.

a) Lapu saplēš 8 gabalos. No tiem 6 gabalus saplēš katru 8 gabaliņos, 1 gabalu saplēš 12 gabaliņos, 1 gabalu atstāj veselu.
Kopējais gabalu skaits ir 6×8+12+1=61

b) Vispirms lapu saplēš 8 daļās un katru no tām vēl 12 daļās. Iegūtas 8×12=96 daļas.
No šīm 96 daļām septiņas saplēšam katru 8 gabalos, divas - katru 12 gabalos, 87 daļas atstājam nesaplēstas. Tagad mums ir 7×8+2×12+87=167 gabali. Vienu gabalu atstājot nesaplēstu, bet pārējos 166 saplēšot katru 12 gabaliņos, iegūstam
166×12+1=1993 gabaliņus.

Iesakām lasītājam patstāvīgi pamatot, ka ar uzdevumā pieļautajām operācijām var iegūt jebkuru gabaliņu skaitu, kas nav mazāks par 61. Ievērojiet, ka katrā plēšanas reizē daļu skaits palielinās vai nu par 7, vai par 11.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa