Uzdevumi

JMK 1992./93. m.g. 3. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. Piemēram, Karaļdēls var pieveikt pūķi šādiem 9 cirtieniem (skat. 41. zīm.). (Pieņemot, ka pūķis ļauj viņam tos izdarīt.):

Uzdevuma risinājums atrasts sekojoši. Skaidrs, ka nocirst vienu galvu nav nozīmes, jo tā tūdaļ ataug. Zobena īpašības ļauj a) palielināt astu skaitu par 1, galvu skaitu nemainot, b) aizstāt divas astes ar vienu galvu, c) samazināt galvu skaitu par 2.
Uzstādām mērķi - panākt, lai pūķim nebūtu nevienas astes un pāra skaita galvu, tad to varēs uzveikt ar c) tipa cirtieniem.
Panākt, lai Pūķim nebūtu nevienas astes, var, cērtot tās nost pa divām; tad vispirms astu skaits jāpadara par pāra skaitli. To var izdarīt, palielinot astu pakāpeniski par 1. Katrs astu pāris, to nocērtot, radīs vienu galvu. Mums vajag, lai brīdī, kad visas astes būs nocirstas, galvu būtu pāra skaitlis. Tā kā sākumā ir trīs galvas, tad vajag, lai astu pāru būtu nepāra skaits. Mazākais iegūstamais nepāra daudzums astu pāru ir 3.
1. - 3. cirtienos mēs iegūstam 3 astu pārus.
4. - 5. cirtienos nocērtam visas astes, padarot galvu daudzumu par pāra skaitli.
7. - 9. cirtienos nocērtam visas galvas.

2. Jā, var. Skat., piem., 42. zīm., kur katru no taisnstūriem ar izmēriem 2x3 var saplēst stūrīšos 2 vienādos (skat. 43. zīm.).

Iesakām lasītājam izpētīt citu figūriņu iespējamo sagriešanu stūrīšos. Piemēram, ir spēkā šāds rezultāts, ko astoņdesmito gadu beigās pierādīja LU studente Regīna Stadja : ja m³7, n³7 un no taisnstūra ar izmēriem mn rūtiņas izgriezta viena rūtiņa, tad, ja mn-1 dalās ar 3, atlikušo daļu var saplēst stūrīšos.

3. No uzdevumā dotā seko, ka pērtiķu skaitam jābūt skaitļa 33 dalītājam. Tātad šis skaits varētu būt 3, 11 vai 33 (nevar būt 1 pērtiķis, jo tad nevarētu notikt strīds). Aplūkosim visas trīs iespējas. Ar x apzīmēsim riekstu skaitu, ko savāca katrs pērtiķis pirms ķīviņa.
a) Ja Mauglim riekstus nesa trīs pērtiķi, Tad pēc ķīviņa viņiem palika 3(x-2) rieksti, jeb 3(x-2)=33. No kurienes seko, ka x=13.
b) Līdzīgi 11 pērtiķu gadījumā iegūstam vienādojumu 11(x-10)=33, no kura arī seko, ka x=13.
c) Ja pērtiķu skaits ir 33, tad attiecīgais vienādojums ir 33(x-32)=33 un x=32. Bet šī atbilde neder, jo katrs pērtiķis var panest ne vairāk kā 20 riekstus.
Tātad uzdevumā ir tieši viena atbilde: katrs pērtiķis salasīja 13 riekstus.

4. Acīmredzami abiem spoguļskaitļiem jābūt trīsciparu; ja tie būtu divciparu, tad reizinājumā būtu ne vairāk kā 4 cipari, bet, ja tie būtu četrciparu, tad reizinājumā būtu vismaz 7 cipari.
Ievērosim, ka 92565=3×3×5×11×11×17, kur visi reizinātāji ir pirmskaitļi (tālāk reizinātājos nesadala). Tāpēc abi spoguļskaitļi jāizveido no šiem reizinātājiem. Vienā no spoguļskaitļiem ietilpst 17; lai šis spoguļskaitlis būtu trīsciparu, 17 jāpareizina vismaz ar 6 (jo 5×17=85) un ne vairāk kā ar 58 (jo 59×17=1003). Tātad 17 varētu tikt pareizināts ar 3×3=9, 3×5=15, 3×11=33, 5×11=55, 3×3×5=45.
Pārbaudot šīs iespējas, atrodam, ka der tikai skaitļu pāris
(561,165): 561=3×11×17, 165=3×5×11.

5. Iezemietim var uzdot, piemēram, sekojošu jautājumu: "Ko melis atbildēs uz jautājumu, uz kuru jāatbild "top"?"
Ja mēs runājam ar meli, tad viņš teiks "top", bet ja mēs runāsim ar godīgu iezemieti, tad viņš atbildēs "tip".

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa