Uzdevumi

JMK 1992./93. m.g. 4. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. Sagrupējam ietilpstošos locekļus sekojoši:
1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(10-11-12+13) +…+(298-299-300+301)+302
(Tā kā katrās iekavās ievietoti četri izteiksmes locekļi un, dalot locekļu skaitu 302 ar 4, atlikumā iegūstam 2, tad grupās neievietoti paliek divi locekļi: pirmais - vieninieks un pēdējais - skaitlis 302).
Apzīmējot katras grupas pirmo locekli ar a, iegūstam, ka iekavu vērtība ir
a-(a+1)-(a+2)+(a+3)=0.
Tāpēc visas izteiksmes vērtība ir 1+302=303.
Iesakām lasītājam atrisināt uzdevumu grupējot locekļus arī citādi, piemēram,
(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+(9+10-11-12)+….

2. Ja izplīsušā fragmenta pirmās lappuses numurs ir 387. - nepāra skaitlis, tad pēdējais numuram ir noteikti jābūt pāra skaitlim. Līdz ar to pēdējās izplēstās lappuses numurs var būt tikai 738. Tātad izplīsušām fragmentam ir 738-387+1 =352 lappuses.

3. a) Izkrāsosim 79 lauciņu galdiņu parastā šaha galdiņa kārtībā, krāsojot lauciņus baltā un melnā krāsā.
Uzdevumos par šaha zirdziņa gājieniem šī krāsojuma priekšrocības slēpjas faktā, ka šaha zirdziņš ar katru nākošo gājienu nokļūst pretējās krāsas lauciņā nekā tas, uz kura zirdziņš stāvēja pirms gājiena: no melnā uz balto un no baltā uz melno (skat. 44. zīm.).

Lai zirdziņš varētu apstaigāt galdiņu saskaņā ar uzdevumā prasīto, viņam jāizdara 63 gājieni - nepāra skaits. Viegli saprast, ka pēc 2., 4., 6., … - pēc jebkura pāra skaita gājienu zirdziņš atrodas tādas pašas krāsas lauciņā, kādā tas atradās kustības sākumā. Tāpēc pēc 63.gājiena tas atradīsies citas krāsas lauciņā nekā sākumā.
Shematiski to var attēlot šādi:

Bet ar 63. gājienu zirdziņam vajadzētu atgriezties sākotnējā lauciņā. Saskaņā ar iepriekš sacīto tas nav izdarāms.

b) Lai noskaidrotu atbildi uz b) prasību izkrāsosim 48 lauciņu galdiņu divos veidos (skat. 45. a un.b zīm.).

45.a zīm. iekrāsotos lauciņus nosauksim par ārējiem, bet neiekrāsotos par iekšējiem. Ievērosim, ka gadījumā, ja šaha zirdziņš atrodas uz ārējā lauciņa, tad ar savu nākošo gājienu tas var nonākt tikai iekšējā lauciņā. Un otrādi - zirdziņš var nokļūt ārējā lauciņā tikai no iekšējā lauciņa. Savukārt, ja zirdziņš atrodas iekšējā lauciņā, tad ar nākošo gājienu tas var nokļūt gan iekšējā, gan ārējā lauciņā.
Pierādīsim, ka patiesībā zirdziņam no iekšējā lauciņa noteikti jāiet uz ārējo lauciņu.
Kustības gaitā zirdziņam jāaiziet no visiem 16 ārējiem lauciņiem. Tā kā viņa "piezemēšanās vietas" šajos gadījumos var būt tikai iekšējie lauciņi un to skaits arī ir 16, tad katrs no tiem tiek izmantots kā "piezemēšanās vieta" vienu reizi, aizejot no kāda ārējā lauciņa (atceramies, ka katrā lauciņā drīkst nonākt tikai vienu reizi). Bet tad nevienu iekšējo lauciņu X nedrīkst izmantot kā "piezemēšanās vietu", aizejot no iekšēja lauciņa, jo tad lauciņā X zirdziņš nonāktu divas reizes, kas nav atļauts.
Secinām, ka ārējie un iekšējie lauciņi zirdziņa maršrutā var sakārtoties divējādi:
ie®ā®ie®ā®ie®ā®…®ie®ā®ie
(*) vai
ā®ie®ā®ie®ā®ie®…®ā®ie®ā

Aplūkojot 45. b zīm., kur lauciņi krāsoti melnā un baltā krāsā, redzam, ka zirdziņa maršrutā krāsas mainās kā
b®m®b®m®b®m®…®b®m®b
(**) vai
m®b®m®b®m®b®…®m®b®m

No (*) un (**) seko, ka mūsu domājamā zirdziņa maršrutā visi apstaigātie ārējie lauciņi ir vienā un tai pašā krāsā. Tas nozīmē, ka otras krāsas ārējie lauciņi apstaigāti netiek. Tātad uzdevuma prasības netiek izpildītas.
Secinām, ka prasītā zirdziņa maršruta nav.

Piezīme: ja mēs būtu izmantojuši tikai 45. b zīm. un mēģinājuši spriest tā kā a) uzdevuma risinājumā, mēs pie mērķa nenonāktu. Tiešām, mēs konstatētu, ka melno un balto lauciņu ir vienāds skaits, jāizdara pāra skaits gājienu un ar pēdējo gājienu jāatgriežas tās pašas krāsas lauciņā kā tas, no kura sākta kustība; tas it kā varētu būt iespējami. Situācija ir tāda pati kā 1. nodarbības 1.uzdevuma risinājumā: melno un balto rūtiņu skaitu vienādība ir nepieciešams, bet ne pietiekams nosacījums tam, lai eksistētu slēgts šaha zirdziņa maršruts.

4. Starp katriem diviem pēc kārtas sekojošiem naturāliem skaitļiem viens ir pāra skaitlis; starp katriem pieciem pēc kārtas sekojošiem skaitļiem viens dalās ar 5. Tāpēc katru piecu (vai vairāk) pēc kārtas ņemtu naturālu skaitļu reizinājums dalās gan ar 2, gan ar 5, tātad tas dalās ar 10, tātad beidzas ar ciparu 0.
Atliek noskaidrot, vai skaitlis, kas beidzas ar ciparu 8, var būt divu, triju vai četru pēc kārtas ņemtu naturālu skaitļu reizinājums.
Risinājumā izmantosim faktu: divu vai vairāku naturālu reizinātāju reizinājums beidzas ar tādu pašu ciparu, ar kādu beidzas reizinātāju pēdējo ciparu reizinājums.
Aplūkosim, ar kādu ciparu var beigties divu pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu reizinājums. Apzīmēsim mazāko no tiem ar n; tad lielākais ir n+1. Apskatām visas iespējas:

Redzam, ka n(n+1) nevienam naturālam n nebeidzas ar ciparu 8.
Līdzīgi pārbaudam, ka n(n+1)(n+2) var beigties tikai ar cipariem 0; 4; 6, bet reizinājums n(n+1)(n+2)(n+3) var beigties tikai ar cipariem 0; 4 (n - naturāls).
Tātad tādu skaitļu, par kādiem runāts uzdevumā, nemaz nav.

5. Par uzdevumā prasīto līniju der jebkura noslēgta līnija, kas uzzīmēta uz lodes virsmas. Visi šīs līnijas punkti atrodas vienā attālumā no lodes centra P.
Plaknē bez riņķa līnijas citu līniju ar šādu īpašību nav.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa