Uzdevumi

JMK 1993./94. m.g. 1. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. Apzīmēsim suņu, kaķu, telīšu un jēru skaitu atbilstoši ar s, k, t, j. Iegūstam vienādības k+t+j=2 s+t+j=2   (1) s+k+j=2
Tās saskaitot, iegūstam 2(k+s+t)+3j=6   (2)
Ievērosim, ka j³0 un j - vesels skaitlis. Ja j>2, tad no (2) seko, ka 2(k+s+t)=6-3j<0. Tā nevar būt, jo k³0, s³0 un t³0, tātad arī k+s+t³0. Tāpēc j var pieņemt tikai vērtības 0; 1; 2. Apskatīsim šīs iespējas. A. Ja j=2, no (2) seko, k+s+t=0; tā kā k, s, t nav negatīvi, tad k=s=t=0. Iznāk, ka Annas tantei ir 2 jēri un nav citu dzīvnieku. Vai šāda iespēja apmierina uzdevuma nosacījumus? Vārdi "visi dzīvnieki, izņemot divus" šai gadījumā nozīmē "visi, izņemot abus jērus". No formālās loģikas viedokļa viss ir kārtībā: katrs dzīvnieks, kas ir Annas tantei, izņemot abus jērus, ir gan kaķis, gan suns, gan telīte, jo šādu dzīvnieku nemaz nav! Tātad ir iespējams, ka Annas tantei ir 2 dzīvnieki - 2 jēri. B. Ja j=1, tad no (2) iznāk 2(k+s+t)=3. Tas nav iespējams, jo 2(k+s+t) ir pāra skaitlis, bet 3 - nepāra skaitlis. C. Ja j=0, tad no (2) iznāk k+s+t=3   (3)
Atgriežoties pie sākotnējām vienādībām (1) un ievietojot j=0, iegūstam k+t=2 s+t=2™™™(4) s+k=2
Atņemot no (3) pa vienai visas trīs vienādības (4), iegūstam s=1, k=1, t=1, t.i., Annas tantei ir viens suns, viens kaķis un viena telīte. Viegli pārbaudīt, ka arī šis gadījums apmierina uzdevuma prasības. Tātad Annas tantei var būt divi vai trīs dzīvnieki.

2. Uzrakstot rindā augošā secībā pirmos desmit pirmskaitļus, iegūstam skaitli A=2357111317192329.
No tā jāizsvītro 8 cipari.
Uzdevuma risinājumā balstīsimies uz diviem faktiem.
A Ja diviem naturāliem skaitļiem ir vienāds ciparu skaits, tad lielāks ir tas skaitlis, kam lielāks pirmais cipars (vai lielāks n-tais cipars, ja abiem skaitļiem pirmie, otrie, trešie, …, (n-1)-ie cipari sakrīt).
B Pieņemsim, ka kādā ciparu virknē vairākās vietās sastopams cipars a. Ja, izsvītrojot vairākus ciparus, no virknes X var iegūt virkni Y, kas sākas ar ciparu a, tad virkni Y noteikti var iegūt šādas izsvītrošanas ceļā, atstājot neizsvītrotu pašu pirmo a eksemplāru virknē X.
(Piemēram, no 12020354 var iegūt virkni 234 sekojošā ceļā: 12020354, bet to pašu var iegūt arī kā 12020354).
Tiešām, ja virkne Y jau sākas ar cipara a pirmo eksemplāru, viss kārtībā. Ja virkne Y sākas ar cipara a kādu tālāku eksemplāru, tad tādu pašu Y varam iegūt, izsvītrojot šo tālāko a eksemplāru, neizsvītrojot pirmo a eksemplāru, bet pārējā daļā svītrošanu nemainot.
Pamatojoties uz B, varam secināt: ja mums kādu apsvērumu dēļ virknē jāatstāj cipars a, tad mēs to noteikti varam darīt, atstājot vistālāk pa kreisi esošo pieejamo a eksemplāru, un šāda rīcība mūsu tālākās iespējas nesašaurinās. Tagad pārejam pie uzdevuma risinājuma.
a) Pēc svītrošanas iegūstamajā 8-ciparu skaitlī (apzīmēsim to ar x=) pirmo ciparu jācenšas atstāt iespējami lielu - atcerieties faktu A! Lielākie mums pieejamie cipari ir 9 un 7. Ja x1=9, tad virknē x nevar būt 8 cipari, tāpēc x1=7. Pamatojoties uz faktu B, svītrojam virknē A trīs pirmos ciparus; paliek virkne A1=7111317192329
Pamatojoties uz faktu A, otrais cipars jāizvēlas iespējami liels. Atkal redzam, ka nevaram izvēlēties ciparu 9 (tad skaitlī x nevarēs būt vairāk par 6 cipariem), tāpēc jābūt x2=7; to varam izvēlēties tikai vienā veidā. Svītrojot ciparus starp abiem septītniekiem, iegūstam A2=77192329
Redzam, ka palikuši tikai 8 cipari, tātad tālāka svītrošana nav iespējama, un meklējamais skaitlis x jau ir iegūts.
b) Līdzīgi cenšoties ņemt pirmos ciparus iespējami mazus, iegūstam, ka meklējamo svītrošanu jārealizē kā 2357111317192329,
iegūstot skaitli 11111229.

3. Viegli pārliecināties, ka par uzdevumā prasīto skaitli der skaitlis 2100010006. To var atrast, piemēram, mēģinājumu un kļūdu ceļā.
Parādīsim, kā šo skaitli varēja atrast loģisku spriedumu ceļā, un vienlaikus parādīsim, ka citu šādu skaitļu nav.
Ciparus 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sauksim par zīmīgiem cipariem Tā kā mums jāatrod desmitciparu skaitlis, tad pirmajam ciparam noteikti jābūt zīmīgajam ciparam.
Mēģināsim noskaidrot, cik nulles var būt meklējamajā skaitlī.
Skaidrs, ka visi cipari nevar būt nulles, jo pēdējam ciparam jānorāda, cik nulles ir skaitlī, tātad tas nav nulle.
Šādā skaitlī nevar būt arī deviņas nulles jeb tikai viens zīmīgais cipars, jo tad pēdējais cipars būtu 9 un pirmais cipars arī ir zīmīgais cipars, tātad nav nulle, bet tas nozīmē, ka skaitlī būtu mazāk nekā deviņas nulles, kas ir pretrunā ar pieņēmumu.
Tāpat meklējamajā skaitlī nevar būt tieši astoņas nulles, jo jābūt vismaz trīs zīmīgajiem cipariem: pirmajam, pēdējam (tas būs 8) un astotajam (jo būs vismaz viens astotnieks - pēdējais cipars).
Neviens zīmīgais cipars šajā skaitlī nevar atkārtoties 6 vai vairāk reizes, t.i., šajā skaitlī neviens cipars (varbūt vienīgi izņemot pēdējo ciparu) nav 6, 7, 8 vai 9. Pierādīsim šo faktu. Pieņemsim, ka meklējamā skaitlī k-tais cipars (k=1, 2, …, 9) nav mazāks par 6. Tas nozīmē, ka meklējamā skaitlī ir vismaz 6 (cipars k, kurš atkārtojas vismaz 6 reizes) + 5×k (k¹0, tāpēc jābūt vismaz pieciem citiem dažādiem cipariem, katrs no kuriem atkārtojas tieši k reizes). k mazākā iespējamā vērtība ir 1, tāpēc 6+5k³6+5×1=11. Tas ir pretrunā ar uzdevuma nosacījumu, ka meklējamajā skaitlī ir desmit ciparu, tātad mūsu pieņemums bija aplams un neviens zīmīgais cipars nevar atkārtoties vairāk kā piecas reizes. Pieņemsim, ka meklējamā skaitlī k-tais cipars ir 5. Spriežot līdzīgi kā iepriekš, iegūstam, ka šajā skaitlī būs vismaz 5+4k cipari. Ja k³2, tad 5+4k³5+4×2=13, kas arī neatbilst uzdevuma nosacījumiem. Ja k=1, tad 5+4k=5+4×1=9. Taču šis rezultāts nenozīmē, ka šāds skaitlis, kura pirmais cipars ir 5 un vieninieks atkārtojas 5 reizes, patiešam eksistē. Mēģināsim izveidot šādu skaitli. Ja pirmais cipars ir 5, tad skaitlī vēl ir pieci vieninieki. Tas nozīmē, ka vēl vismaz 3 citi zīmīgie cipari a, b, c (izņemot 1 un 5) šajā skaitlī parādās vienu reizi. Bet tas savukārt nozīmē, ka šajā skaitlī ir vēl trīs citi no 1, 5, a, b, c atšķirīgi cipari p, m, n, katrs no kuriem skaitlī atkārtojas attiecīgi a, b, c reizes. Tātad šajā skaitlī pavisam kopā ir vismaz 1+5+p×a+m×b+p×n cipari. Tā kā starp p, m, n vismaz divi ir zīmīgie cipari(t.i., nav nulle) un no cipariem a, b, c arī neviens nav nulle vai viens, tātad tie visi ir lielāki nekā 1, tad 6+p×a+m×b+p×n>6+2×2+2×2>10. Atkal ieguvām pretrunu uzdevuma nosacījumiem, tātad neviens zīmīgais cipars šajā skaitlī nevar atkārtoties arī 5 reizes.
Līdzīgi pierāda, ka neviens zīmīgais cipars nevar atkārtoties arī 4 vai 3 reizes.
Mēģināsim izveidot skaitli, kurā kāds zīmīgais cipars atkārtojas 2 reizes. Šis cipars nevar būt 2 vai lielāks, jo tādā gadījumā meklējamā skaitlī būtu jābūt vairāk nekā 10 cipariem (izspriež līdzīgi, kā iepriekšējā pierādījumā). Tātad veidosim skaitli, kurš atbilstu uzdevuma nosacījumiem un kurā cipars viens atkārtojas 2 reizes. Tātad šī skaitļa pirmais cipars ir 2 un otrais cipars ir 1 (otrais cipars nevar būt 2 vai lielāks, tas seko no iepriekš pierādītā). Tātad šajā skaitlī vēl ir viens vieninieks, nulles un viens zīmīgais cipars, kas parāda nuļļu skaitu (nevar būt tikai viena nulle, jo tad skaitlī būtu jābūt vismaz 8 zīmīgiem cipariem, bet tad šis skaitlis neatbilstu uzdevuma prasībām). Tātad šajā skaitlī pavisam ir 4 zīmīgie cipari: abi vieninieki, divnieks un pēdējais cipars. Tātad pārējie seši cipari ir nulles un meklējamais skaitlis ir 2100010006.
Esam apskatījuši visus iespējamos gadījumus, tātad neviena cita skaitļa, kas atbilstu uzdevuma nosacījumiem.

4. Vispirms noskaidrosim, vai vispār iespējams atlikušos atsvarus sadalīt divās kaudzēs tā, lai atsvaru masas abās kaudzēs būtu vienādas, t.i., vai atlikušo atsvaru kopējā masa ir pāra skaitlis.
Vispirms aprēķināsim, cik ir visu atsvaru kopējā masa. Atsvaru masas ir 1 g, 2 g, 3 g, …, 100 g, 101 g, t.i., katrs nākamais atsvars ir tieši par vienu gramu smagāks nekā iepriekšējais. Šādu skaitļu virkni, kur katrs nākamais skaitlis iegūstams iepriekšējam skaitlim pieskaitot vienu un to pašu skaitli, sauc par aritmētisko progresiju. Aritmētiskās progresijas pirmo locekli apzīmē ar a1, otro - a2, …, n-to locekli - an, bet skaitli, kuru pieskaita, par kuru atšķiras katrs nākamais loceklis no iepriekšējā, sauc par diferenci un apzīmē ar d. Aritmētiskās progresijas pirmo n locekļu summu Sn aprēķina pēc formulas . Tātad uzdevumā doto visu atsvaru kopējā masa ir =51×101=5151. No šī komplekta izņemot atsvaru ar masu 19 g, atlikušo atsvaru masa ir 5151-19=5132. Tas ir pāra skaitlis, tātad varētu būt iespējami sadalīt šos atsvarus divās kaudzēs ar vienādām masām, bet šis rezultāts negarantē, ka tas noteikti ir iespējams.
Apvienosim atsvarus pa pāriem (1 g; 101 g), (2 g; 100 g), (3 g; 99 g), …, (17 g; 85 g), (18 g; 84 g) (18 pāri; katra pāra masa ir 102 g) un (20 g; 83 g), (21 g; 82 g), …, (50 g; 53 g), (51 g; 52 g) (32 pāri; katra pāra masa ir 103 grami). Vienā kaudzē izvēloties 9 pirmā veida pārus un 16 otrā veida pārus, bet pārējos atsvarus atstājot otrā kaudzē, būsim izpildījuši uzdevuma prasības.
Patiešām katrā kaudzē ir 9+16=25 atsvaru pāri, tātad 25×2=50 atsvari, un katras kaudzes masa ir 9×102+16×103.

5. Pārveidosim dotos skaitļus: a=245= b=336= c=427= d=518=
Lai salīdzinātu skaitļus 329, 819, 649, 259, jāsalīdzina skaitļi 32, 81, 64, 25; rezultāts būs lielāks, ja lielāku skaitli reizinās pašu ar sevi 9 reizes. Tā kā 25<32<64<81, tad arī 259<329<649<819 jeb d<a<c<b.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa