Uzdevumi

JMK 1993./94. m.g. 2. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. Tā kā zemniekam ir 12l piena, tātad, sadalot to divās vienādās daļās, jāiegūst divos traukos katrā pa 6l piena. Kā jārīkojas zemniekam, parādīts sekojošā tabulā (46. zīm.):

2. Atbilstoši uzdevuma nosacījumiem, atvilknē ar zīmīti var atrasties vai nu divas melnas cepures, vai viena balta un viena melna cepure; izvelkot tikai vienu cepuri no šīs atvilknes nevar viennozīmīgi pateikt, kādas cepures tur atrodas. Atvilknē ar zīmīti var atrasties vai nu divas baltas cepures, vai viena balta un viena melna cepure; arī šajā gadījumā izvelkot tikai vienu cepuri nevar viennozīmīgi pateikt, kādas cepures atrodas šajā gadījumā. Atvilknē ar zīmīti var atrasties vai nu divas baltas, vai divas melnas cepures; izvelkot vienu cepuri no šīs atvilknes, varam viennozīmīgi pateikt, kādas cepures īstenībā atrodas šajā atvilknē: ja izvilktā cepure ir balta, tad šajā atvilknē ir divas baltas cepures, ja melna - tad divas melnas cepures. Tagad noskaidrosim, kā pareizi ir jāsaliek zīmītes uz pārējām atvilknēm, kad esam noskaidrojuši atvilknes saturu.
Ja sākumā uz atvilknēm bija zīmītes šādā secībā un
1) no atvilknes izņemtā cepure ir balta, tad patiesībā pie otrās atvilknes jābūt zīmītei ; tā kā nevienā atvilknē cepuru krāsa neatbilst zīmītei, tad zīmītei jābūt pie pirmās atvilknes un pie trešās atvilknes jābūt zīmītei : pareizā zīmīšu secība ir .
2) no atvilknes izņemtā cepure ir melna, tad patiesībā pie otrās atvilknes jābūt zīmītei ; tā kā nevienā atvilknē cepuru krāsa neatbilst zīmītei, tad zīmītei jābūt pie trešās atvilknes un pie pirmās atvilknes jābūt zīmītei : pareizā zīmīšu secība ir .

3. Jebkurš naturāls skaitlis, tātad arī pirmskaitlis, var vai nu
1) dalīties ar 3; tad to var uzrakstīt formā p=3k. Vienīgais pirmskaitlis, kurš dalās ar 3 ir 3. Pārbaudīsim, vai pirmskaitlis p=3 atbilst uzdevuma prasībām: 2p+1=2×3+1=7 ir pirmskaitlis un 4p+1=4×3+1=13 ir pirmskaitlis. Tātad pirmskaitlis p=3 apmierina uzdevuma prasības.
2) dot atlikumu 1, dalot ar 3; tad to var uzrakstīt formā p=3k+1. Tā kā p ir pirmskaitlis un mazākais pirmskaitlis ir 2, tad k³1. Tad 2p+1=2×(3k+1)+1=6k+3=3×(2k+1)³3×(2×1+1)=9 un dalās ar 3, tātad 2p+1 nav pirmskaitlis un uzdevuma prasības nepamierina neviens pirmskaitlis, kurš dalot ar 3, dod atlikumu 1.
3) dot atlikumu 2, dalot ar 3; tad to var uzrakstīt formā p=3k+2. Tad 4p+1=4×(3k+2)+1=12k+9=3×(4k+3)³9 un dalās ar 3, tātad 4p+1 nav pirmskaitlis. Tātad uzdevuma prasības neapmierina neviens pirmskaitlis, kas, dalot ar 3, dod atlikumu 2.
Esam aplūkojuši visas iespējas, un vienīgais pirmskaitlis, kas apmierina uzdevuma prasības, ir skaitlis 3.

4. Pieņemsim, ka dots 12-stūris ABCDEFGHIJKI. Sadalīsim šī daudzstūra virsotnes četrās grupās pa trim virsotnēm katrā: A, B, C; D, E, F; G, H, I; J, K, L. Katrā grupā apvienotas blakus virsotnes, t.i., uz vienas taisnes no šiem trīs punktiem var atrasties tikai divi punkti. Ja kādā grupā uz vienas taisnes atrastos visi trīs punkti no vienas grupas, tad daudzstūrim būtu mazāk nekā 12 virsotnes un tas nebūtu 12-stūris. Tātad 12-stūrī uz vienas taisnes var atrasties ne vairāk kā 2×4=8 virsotnes. 47. zīmējumā parādīts 12-stūris, kuram 8 virsotnes atrodas uz vienas taisnes.

5. a) Skat. 48. zīmējumu.

b) Taisnstūri var sadalīt arī 1993 mazākos taisnstūros, atbilstoši uzdevuma prasībām. Tā kā 1993 ir pietiekami liels taisnstūru skaits, visus tos zīmējumā neparādīsim. Uzdevumu veiksim "no otra gala" - nevis sagriezīsim doto taisnstūri mazākās daļās, bet no mazākiem taisnstūriem liksim kopā doto taisnstūri. Tā kā nav nekādu nosacījumu par taisnstūru izmēriem, tad mazajiem taisnstūriem varam izvēlēties izmērus tā, lai beigās iegūtu doto taisnstūri. 49. zīmējumā parādīts dotā taisnstūra veidošanas (sagriešanas) princips - sākam ar vienu mazāku taisnstūri, un tam apkārt pa vienam liekam klāt citus taisnstūrus, atbilstoši uzdevuma prasībām, lai nekādi divi taisnstūri kopā neveidotu vienu taisnstūri; ar skaitļiem taisnstūros ir parādīta to pievienošanas secība.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa