Uzdevumi

JMK 1993./94. m.g. 4. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. Uzrakstīsim doto reizināšanas piemēru, viencipara reizinātāju apzīmējot ar burtu a: 1994×a=*****. Ievērosim, ka 1994×5=9970, t.i., reizinājums ir tikai četrciparu skaitlis, bet dotā piemēra reizinājums ir piecciparu skaitlis. Tātad a>5. Pārbaudīsim visas iespējas
a=6: 1994×6=11964, neder, jo ir divi cipari 1;
a=7: 1994×7=13958, apmierina uzdevuma prasības;
a=8: 1994×8=15952, neder, jo ir divi cipari 5;
a=9: 1994×9=17946, neder, jo ir divi cipari 9.
Vienīgais gadījums, kas apmierina uzdevuma nosacījums, ir 1994×7=13958.

2. Ievērosim, ka
(*) skudriņa Tipa uz katru augšējās rindas virsotni var nokļūt tikai vienā veidā: ejot tikai pa labi; tāpat uz katru kreisās kolonnas virsotni var nokļūt tikai vienā veidā: ejot tikai uz leju.

(**) Tagad apskatīsim cik dažādos veidos Tipa var nokļūt uz virsotni A, ja zināms, ka uz rūtiņu B (kas atrodas vienu rūtiņu virs A) var nokļūt pa b dažādiem ceļiem, bet uz virsotni C (kas atrodas vienu rūtiņu pa kreisi no A) var nokļūt pa c dažādiem (skat. 53. zīm.). Uz virsotni A ar gājienu vienas rūtiņas garumā var nokļūt tikai no virsotnes B vai virsotnes C (citu iespēju nav, jo drīkst pārvietoties tikai pa kvadrāta rūtiņu līnijām). Tā kā no augšējā kreisā stūra uz virsotni B var nokļūt pa b dažādiem ceļiem, tad no augšējā kreisā stūra uz virsotni A caur virsotni B arī var nokļūt pa b dažādiem ceļiem, savukārt, uz virsotni C no augšējā kreisā stūra var nokļūt c dažādos veidos, tātad arī uz virsotni A caur virsotni C var nokļūt pa c dažādiem ceļiem. Pavisam no augšējā kreisā stūra uz virsotni var nokļūt pa b+c dažādiem ceļiem.
Izmantojot faktus (*) un (**), izveidosim tabulu (54. zīm.), katrā rūtiņu virsotnē ierakstot skaitli, pa cik dažādiem ceļiem skudriņa Tipa var nokļūt uz šo virsotni. Kā redzam, uz labo apakšējo stūri Tipa var nokļūt pa 3432 dažādiem ceļiem.

3. Ja preces cena ir 8 tilleri, tad par to var samaksāt ar vienu 3 tilleru monētu un vienu 5 tilleru monētu (3+5=8); ja prece maksā 9 tillerus, tad par to var samaksāt ar trijām 3 tilleru monētām (3+3+3=9); ja preces cena ir 10 tilleru, tad par to var samaksāt ar divām 5 tilleru monētām (5+5=10).
Jebkurš naturāls skaitlis dalot ar 3 var dot atlikumu
I 0 (izdalīties bez atlikuma),
II 1 vai
III 2.
Citu iespēju nav.
Apskatīsim katru gadījumu atsevišķi un ievērosim, ka skaitlis 8 dalot ar 3 dod atlikumu 2, skaitlis 9 dalās ar 3 bez atlikuma un skaitlis 10 dalot ar 3 dod atlikumu 1.
I Ja preces cena dalās ar 3, tad par to var samaksāt ar vajadzīgo skaitu 3 tilleru monētām.
II Ja preces cena, dalot ar 3, dod atlikumu 1, tad par to var samaksāt, maksājot 10 tillerus (to var izdarīt, skat. augstāk) un vēl vajadzīgā skaitā 3 tilleru monētas; šādā veidā samaksātā summa, dalot ar 3, dod atlikumu 1, jo 10, dalot ar 3, dod atlikumu 1, un pieskaitot veselu skaitu 3 tilleru monētas, kopēja summa, dalot ar 3, dod to pašu atlikumu, t.i., 1.
III Ja preces cena, dalot ar 3, dod atlikumu 2, tad par to varam samaksāt maksājot 8 tillerus (iepriekš parādīts, ka to var izdarīt) un vēl vajadzīgā skaitā 3 tilleru monētas. Šādā veidā samaksātā summa, dalot ar 3, dod atlikumu 2, jo šādu atlikumu dod skaitlis 8, dalot ar 3, bet summa, ko var samaksāt ar veselu skaitu 3 tilleru monētām, dalot ar 3, dod atlikumu 0.
Tā kā esam apskatījuši visas iespējas, tad uzdevuma prasības ir izpildāmas.

4. Piemēram, 55. zīmējumā parādīto karti nevar izkrāsot ar trīs krāsām tā, lai nekādas divas valstis, kurām ir kopīga robeža, nebūtu izkrāsotas vienā krāsā. Valstīm A un B ir kopējs robežas nogrieznis, tātad tās nevar būt izkrāsotas vienā krāsā. Valstij C ir kopēja robeža gan ar valsti A, gan ar valsti B, tātad C ir jābūt izkrāsotai citā krāsā nekā A vai B. Tātad, lai izkrāsotu valstis A, B, C, ir nepieciešamas trīs dažādas krāsas. Savukārt valstij D ir kopējs robežas nogrieznis ar katru no minētajām valstīm A, B, C. Tātad D nevar būt izkrāsots tādā pašā krāsā kā valstis A, B vai C, tas nozīmē, valsts D izkrāsošanai vajadzīga vēl viena jauna krāsa. Tātad, lai izkrāsotu 55. zīmējumā parādīto karti, vajadzīgas vismaz 4 krāsas.

5. Kā to var izdarīt, parādīts 56. zīmējumā.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa