Uzdevumi

JMK 1993./94. m.g. 5. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. Skatīt 57. zīmējumu.

2. Lai visi kungi un dāmas nokļūtu otrā upes krastā, ievērojot visus uzdevumā dotos nosacījumus, viņiem jārīkojas sekojoši.
Vispirms viens kungs pārved pāri upei vienu dāmu, atstāj to otrā upes krastā un pats atbrauc atpakaļ. (Laivā brauca ne vairāk kā divi cilvēki un dāma viena pati var palikt upes krastā). Pēc tam kungs pārved vēl vienu dāmu uz otru krastu un pats atgriežas atpakaļ. Tagad otrā krastā jau ir divas dāmas, bet pirmajā krastā vēl ir divas dāmas un trīs kungi; tas arī nav pretrunā ar uzdevuma b) nosacījumu. Nākamajos trijos braucienos viens kungs pārved pāri upei visus trīs pārējos kungus (katrā braucienā vienu kungu un pats atgriežas atpakaļ). Tad otrā krastā jau ir divas dāmas un trīs kungi, bet pāri upei vēl jātiek divām dāmām. Tāpēc tagad kungs pārved pāri upei vienu dāmu, atgriežas atpakaļ un kopā ar pēdējo palikušo dāmu aizbrauc uz otru krastu. Tā visi 8 ceļotāji ir nokļuvuši upes otrā krastā, ievērojot visus noteikumus.

3. Tā kā 7 āboli ir jāsadala 12 bērniem vienādās daļās, tad katram bērnam ir jādabū 7:12= no ābola. Vienkāršākais veids, kā to izdarīt, ir katru ābolu sadalīt 12 vienādās daļās un katram bērnam iedot 7 šādas daļas. Taču šāds risinājums neder, jo ir teikts, ka katru ābolu nedrīkst sagriezt vairāk nekā 4 daļās.
Ievērosim, ka . Tātad katram bērnam ir jāsaņem viena trešdaļa no ābola un viena ceturtdaļa no ābola, jeb visi āboli ir jāsagriež tā, lai kopā iegūtu 12 trešdaļas un 12 ceturtdaļas. Lai iegūtu 12 trešdaļas, četri āboli jāsagriež katrs 3 vienādās daļās (4×3=12), un lai iegūtu 12 ceturtdaļas, atlikušie 3 āboli jāsagriež katrs 4 vienādās daļās (3×4=12). Patiešām, esam sagriezuši kopā visus 4+3=7 ābolus un ieguvuši 12 trešdaļas un 12 ceturtdaļas - katram bērnam pa vienai ābola trešdaļai un ceturtdaļai. Pie tam neviens ābols tika sagriezts ne vairāk kā četrās daļās.

4. Šādu blakus esošu naturālu skaitļu m un n nav.
Starp diviem blakus esošiem naturāliem skaitļiem viens noteikti ir pāra un otrs - nepāra skaitlis. Pāra skaitļa kvadrāts (reizinājums pašam ar sevi) arī ir pāra skaitlis, jo pāra skaitlispāra skaitlis=pāra skaitlis; nepāra skaitļa kvadrāts ir nepāra skaitlis: nepāra skaitlisnepāra skaitlis=nepāra skaitlis. Tātad starp skaitļiem m2 un n2 viens noteikti ir pāra skaitlis un otrs - nepāra skaitlis. Taču pāra un nepāra skaitļu starpība (tāpat kā summa) ir nepāra skaitlis, t.i., m2-n2 noteikti ir nepāra skaitlis, ja m un n ir blakusesoši naturāli skaitļi. Bet uzdevumā dotajā vienādībā m2-n2=200, šī starpība ir 200 (pāra skaitlis), tātad nav tādu skaitļu m un n, kas apmierina uzdevuma nosacījumus.

5. Ievērosim, ka ir 9 viencipara skaitļi no 1 līdz 9. Kad ir uzrakstīti rindā pēc kārtas visi šie skaitļi, tad ir uzrakstīti arī 9 cipari. No 10 līdz 99 pavisam ir 90 divciparu skaitļi, tātad šajos skaitļos kopā ir 90×2=180 ciparu, bet no 1 līdz 99 rindā ir uzrakstīti 9+180=189 cipari. No 100 līdz 199 ir 100 trīsciparu skaitļi, tātad tajos kopā ir 100×3=300 cipari. Līdzīgi skaitļos no 200 līdz 299 kopā ir 300 cipari, skaitļi no 300 līdz 399 arī satur 300 ciparus, …. Tātad no 1 līdz 699 pavisam ir uzrakstīti 9+180+6×300=1989 cipari, t.i., 1989. cipars šajā virknē ir cipars 9. Apskatīsim šīs virknes posmu no 699 līdz 702 un katram ciparam apakšā uzrakstīsim tā kārtas numuru šajā virknē, skaitot no sākuma:

Kā redzam, mūs interesējošais 1994. cipars šajā virknē ir otrais cipars skaitlī 701 - cipars 0.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa