Uzdevumi

JMK 1994./95. m.g. 1. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. Vienā gadā ir 365 vai 366 (garajā gadā) dienas, tātad ir pilnas 52 nedēļas un vēl 1 vai 2 dienas. Katrā nedēļā ir viena svētdiena, un vēl viena svētdiena var būt starp atlikušajām 1 vai 2 dienām (starp atlikušajām 2 dienām var būt tikai viena svētdiena, jo tās ir pēc kārtas sekojošas dienas). Tātad gadā kopā var būt ne vairāk par 52+1=53 svētdienām.

2. Jā var, skatīt 63. zīmējumu a) un b).

3. Skaistie skaitļi ir četrciparu skaitļi, pie tam to pierakstā var tikt izmantoti tikai divi cipari - 2 vai 4. Tātad skaisto skaitļu pirmais cipars var jebkurš no šiem diviem cipariem; katram izvēlētajam pirmajam ciparam otro ciparu varam izvēlēties ar divos veidos - 2 vai 4; kopā pirmo un otro ciparu varam izvēlēties 2×2=4 veidos. Līdzīgi, katram pirmo divu ciparu pārim trešo ciparu varam izvēlēties arī divos veidos, tātad pirmos trīs ciparus varam izvēlēties 4×2=8 veidos, un katram pirmo trīs ciparu trijniekam ceturto ciparu varam izvēlēties divos veidos - 2 vai 4. Tātad pavisam skaisto skaitļu ir 8×2=16. Lai noskaidrotu to summu, sadalīsim visus šos skaitļus pāros tā, lai katra pāra summa būtu 6666. Katrs skaistais skaitlis ietilpst ne vairāk kā vienā pārī. Pieņemsim, ka tas tā nav, t.i., eksistētē kāds skaistais skaitlis a, kas ietilpst divos pāros (a; b) un (a; c). Tad b=6666-a un c=6666-a jeb b=c, tātad skaisto skaitļu pāri (a; b) un (a; c) īstenībā ir viens un tas pats pāris. Visus skaistos skaitļus varam apvienot šādos 8 pāros, kur katra pāra summa ir 6666: (2222; 4444), (2224; 4442), (2242; 4424), (2244; 4422), (2422; 4244), (2424; 4242), (2442; 4224), (2444; 4222). Tātad visu skaisto skaitļu summa ir visu šo 8 skaitļu pāru summu summa, t.i., visu skaisto skaitļu summa ir 8×6666=53328.
Līdzīgi spriežot, varam secināt, ka lielisko skaitļu ir 2×2×2×2×2×2=64. Lai noskaidrotu visu lielisko skaitļu summu, visus šos skaitļus sadalām pāros, kur katra pāra summa ir 666666. Tātad visu lielisko skaitļu summa ir 32×6666666=21333312.

4. No uzdevuma nosacījumiem seko, ka velosipēdists ceļa starp pilsētām A un B veic ātrāk nekā motociklists veic no šī ceļa (tas seko no šādiem vārdiem uzdevuma tekstā: "kad velosipēdists bija nobraucis trešo daļu ceļa, viņš apstājās un gaidīja, kamēr motociklistam līdz pilsētai B paliks trešā daļa ceļa", t.i., kamēr motociklists būs nobraucis divas trešdaļas ceļa). Pēc tam, kad velosipēdists atsāk ceļu, viņam atlika nobraukt tikai ceļa, jo viņš atradās šādā attālumā no pilsētas A un sāka braukt atpakaļ uz šo pilsētu. Taču motociklistam atlika nobraukt ceļa līdz pilsētai B un pēc tam vēl visu ceļu atpakaļ līdz pilsētai A, tātad pavisam ceļa. Tā kā velosipēdists ceļa veic ātrāk nekā motociklists no šī ceļa, tad, protams, ceļa velosipēdists veiks ātrāk nekā motociklists veiks ceļa un velosipēdists pilsētā A nonāks ātrāk.

5. Katram uzzīmētajam kaķītim pierakstīsim skaitli 1, bet katram sunītim - skaitli 2. Sākumā uz tāfeles uzrakstīto skaitļu summa ir 1×6+2×7=6+14=20.
Apskatīsimies, kā mainās šī summa, veicot atļautās darbības:
1) ja no tāfeles nodzēšam vienu sunīti, t.i., nodzēšam skaitli 2, tad uzrakstīto skaitļu summa samazinās par 2;
2) ja no tāfeles nodzēšam divus kaķīšus un uzzīmējam vietā vienu sunīti (t.i., nodzēšam divus skaitļus 1 un uzrakstām vietā vienu skaitli 2), tad uzrakstīto skaitļu summa nemainās (-1-1+2=0).
Tātad uzrakstīto skaitļu summa var vai nu nemainīties, vai samazināties par 2, t.i., par pāra skaitli. Tā kā sākumā uzrakstīto skaitļu summa ir 20 - pāra skaitlis, tad veicot atļautās darbības, visu uzrakstīto skaitļu summa vienmēr būs pāra skaitlis. Tātad, ja uz tāfeles ir palicis nenodzēsts viens dzīvnieciņš (viens skaitlis), tas var būt tikai sunītis (skaitlis 2). Pēdējais nevar palikt viens kaķītis, jo tam pierakstītais skaitlis 1 ir nepāra skaitlis, kas ir pretrunā ar iepriekš pamatoto.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa