Uzdevumi

JMK 1994./95. m.g. 2. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. Tā kā Ieva nodziedāja 8 dziesmas - vairāk nekā pārējās, un Santa nodziedāja 5 dziesmas - mazāk ne pārējās meitenes, tad Aiga un Liene katra nodziedāja 6 vai 7 dziesmas. Tā kā zināms, ka katru dziesmu dziedāja tieši trīs meitenes, tad visu meiteņu kopējais uzstāšanos skaits dalās ar 3. Ievas un Santas kopējais uzstāšanos skaits ir 8+5=13, Aigas un Lienes kopējais uzstāšanos skaits var būt vai nu 6+6=12, 6+7=7+6=13 vai 7+7=14. Ja Aigas un Lienes kopējais uzstāšanos skaits ir 12, tad visu četru meiteņu kopējais uzstāšanos skaits ir 13+12=25, 25 nedalās ar 3, tātad šāds gadījums neder. Ja Aigas un Lienes kopējais uzstāšanos skaits ir 13, tad visu meiteņu kopējais uzstāšanos skaits ir 13+13=26, kas arī nedalās ar 3. Ja Aigas un Lienes uzstāšanos skaits ir 14, tad kopējais uzstāšanos skaits ir 13+14=27, dalās ar 3. Tātad pavisam koncertā tika nodziedātas 27:3=9 dziesmas, katru dziesmu dziedāja tieši trīs meitenes, Ieva nodziedāja 8 dziesmas, Aiga un Liene katra nodziedāja 7 dziesmas un Santa nodziedāja 5 dziesmas.

2. Var būt nepieciešamas 4 vai 5 kravas mašīnas. Mazāk kā ar 4 mašīnām visu kravu aizvest noteikti nevarēs, jo vienā mašīnā var iekraut ne vairāk kā 3 t, bet 3×3t=9t<10t. Arī ar 4 mašīnām var būt nepietiekami. Piemēram, ja ir 13 kastes un katra kaste sver t, tad, lai visu kravu aizvestu ar 4 mašīnām, vismaz vienā kravas mašīnā būs jāiekrauj vismaz 4 kastes (jo 4×3 kastes=12 kastes <13 kastes). Bet 4×t=t=3t>3t, tas neatbilst uzdevuma nosacījumiem. Tātad ar četrām kravas mašīnām var nepietikt.
Pierādīsim, ka ar 5 kravas mašīnām noteikti pietiek. Patiešām, katrā mašīnā varam iekraut vismaz 2t kravas (ja kādā mašīnā būs iekrauts mazāk nekā 2t kravas, tad tur noteikti varēs iekraut vēl vienu kasti, jo kastes masa nepārsniedz 1t un mašīnas pavisam var iekraut 3t). Tātad 5 mašīnās var iekraut vismaz 5×2t=10t, t.i., piecās mašīnās noteikti var iekraut un uzreiz aizvest visu kravu.

3. Risināsim šo uzdevumu sekojoši: mēģināsim noskaidrot, kādā veidā doto skaitli var sadalīt tādos reizinātājos, ka visu reizinātāju summa ir tas pats dotais skaitlis. Ja pamatosim, ka tas nav izdarāms šādā veidā, tad dotos skaitli sadalīt atbilstoši uzdevuma prasībām nebūs iespējams.
a) Skaitlis 23 ir pirmskaitlis un vienīgais veids, kā šo skaitli var izteikt ar vairāku naturālu skaitļu reizinājumu, ir šo pašu skaitli 23 reizināt ar vienu vai vairākiem vieniniekiem. Taču uzdevumā prasīts, lai šo reizinātāju summa būtu 23. Jau gadījumā, ja 23 izsakām kā divu skaitļu reizinājumu 23×1 (savādāk skaitli 23 divu skaitļu reizinājumā izteikt nevar!), reizinātāju 23 un 1 summa ir 24>23. Tātad skaitli 23 atbilstoši uzdevuma prasībām izteikt nevar.
b) Skaitlis 203=7×29, bet reizinātāju summa 7+29=36<203. Tātad skaitļiem 7×29 vēl jāpiereizina vajadzīgais skaits vieninieku (reizinājums no tā nemainās). 203-36=167, tātad skaitli 203 atbilstoši uzdevuma prasībām varam izteikt sekojoši: 203= un
203=.

4. Atbilde. 25 apaļas monētas salikt uz galda atbilstoši uzdevuma prasībām nav iespējams.
Pieņemsim, ka tas tomēr ir iespējams un mums ir izdevies to izdarīt. Tad katru saskaršanās punktu uz abām monētām nokrāsosim sarkanu. Tātad pavisam nokrāsoti ir 3×25=75 sarkani punkti (jo katra monēta pieskaras tieši 3 citām, tāpēc uz katras monētas nokrāsoti ir tieši 3 punkti). Taču katrā pieskaršanās punktā var saskarties tikai divas monētas (tas ir monētas apaļās formas dēļ, skat. 64. zīm.).

Tātad pavisam kopā nokrāsotiem jābūt pāra skaitam punktu. Skaitlis 75 nav pāra skaitlis, tātad esam ieguvuši pretrunu: skaitot vienus un tos pašus objektus divos dažādos veidos katrreiz ieguvām atšķirīgus rezultātus, kas būt nevar. Tātad uzdevuma prasības nav izpildāmas.

5. Lielākais iespējamais šādu kvadrātu skaits ir 77. Šāds sadalījums ir, piemēram, dotā taisnstūra sadalījums rūtiņās.
Kvadrātus sāksim atzīmēt no taisnstūra kreisā augšējā stūra un apskatīsim katra uzzīmētā kvadrāta augšējo kreiso rūtiņu. Šī rūtiņa nevar būt kopīgā kreisā augšējā rūtiņa vairāk kā vienam atzīmētajam kvadrātam (pretējā gadījumā lielākais kvadrāts pilnībā pārklās mazāko vai arī abi kvadrāti sakritīs jeb būs viens un tas pats kvadrāts). Tā kā pavisam taisnstūrī 711 ir 77 rūtiņas, tad nevar būt atzīmēti vairāk nekā 77 kvadrāti.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa