Uzdevumi

JMK 1994./95. m.g. 3. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. Ievērosim, ka 1995=1994+1, tātad = jeb =1994:(1994×1994+1994).

2. Vispirms pārliecam papīra lapu, 11 cm garo malu pārlokot uz pusēm (65. a) zīm.); iegūstam taisnstūri 8,5 cm5,5 cm. Šim taisnstūrim atlokām vienu stūri tā, kā parādīts 65. b) zīm. Locījuma līnija ir kvadrāta 5,5 cm5,5 cm diagonāle, tātad joslas KL platums ir 8,5cm-5,5cm=3cm, kas arī bija jāatliek.

3. Lai vairāku naturālu skaitļu reizinājums dalītos ar kādu naturālu skaitli A, starp reizinātājiem vismaz vienu reizi jābūt skaitļa A visiem pirmreizinātājiem, vai skaitļiem, kas dalās ar skaitļa A pirmreizinātājiem. Skaitļa 1995 sadalījums pirmreizinātājos ir 1995=3×5×7×19. Tātad, lai reizinājums 1×2×3ׅ×N dalītos ar 1995, N ir jābūt vismaz 19. Ja N būs mazāks par 19, tad neviens no reizinātājiem nedalīsies ar 19 (tas ir pirmskaitlis, tātad vairāku citu skaitļu reizinājums arī nevar būt 19), līdz ar to viss reizinājums nedalīsies ar 1995. Ja N=19, tad reizinājums 1×2×3×4×5×6×7ׅ×18×19 dalās ar 1995, jo 3×5×7×19=1995 un doto reizinājumu varam pārrakstīt kā 1995×1×2×4×6×8×9ׅ×17×18, kas acīmredzami dalās ar 1995.

4. Šajā spēlē, spēlējot pareizi, vienmēr uzvarēs pirmais spēlētājs. Viņam jārīkojas sekojoši: pirmajā gājienā no lielākās kaudzes ir jāpaņem 1000 rieksti; tad abās kaudzēs paliks pa 995 riekstiem. Turpmākajos gājienos pirmais spēlētājs izdara simetrisku gājienu otrā spēlētāja gājienam, t.i., ja otrais spēlētājs no vienas kaudzītes paņem n riekstus, tad pirmais spēlētājs no otras kaudzītes arī paņem n riekstus. To viņš noteikti izdarīt var, jo pirms šī gājiena abās kaudzītēs bija vienāds skaits riekstu un otrais spēlētājs drīkst ņemt riekstus tikai no vienas kaudzītes. Pēc pirmā spēlētāja gājiena abās kaudzītēs atkal ir vienāds riekstu skaits, tātad pirmais spēlētājs arī turpmākajos gājienos var pielietot šo pašu stratēģiju. Tikmēr, kamēr otrajam spēlētājam būs ko paņemt, būs ko paņemt arī pirmajam spēlētājam, bet ja otrajam spēlētājam vairs nebūs ko paņemt, tas nozīmē, ka iepriekšējā gājienā viņš ir paņēmis visu no vienas kaudzītes un pirmais spēlētājs ir paņēmis visu no otras kaudzītes, tātad otrais spēlētājs zaudē.

5. Vispirms visus parlamentāriešus patvaļīgi sadalīsim divās palātās. Attēlosim parlamentāriešus ar punktiem P1, P2, …, Pk; ja divi parlamentārieši ir ienaidnieki, tad viņus savienosim ar nogriezni (skat., piem., 66. zīm.)

Saskaitīsim, cik savstarpējo ienaidnieku, t.i., cik nogriežņi ir novilkti katrā palātā atsevišķi. Apzīmēsim šo skaitu pirmajā palātā ar N1, bet otrajā palātā - ar N2. Ar N apzīmēsim šo skaitļu summu N=N1+N2. Apskatīsim visus parlamentāriešus P1, P2, P3, …, Pk (k - visu parlamentāriešu skaits). Ja parlamentārietim P1 savā palātā (pieņemsim, pirmajā; ja P1 ir otrajā palātā, spriedums analoģisks) ir 2 vai 3 ienaidnieki, tad viņam pārejot uz otru palātu, ienaidnieku skaits būs ne vairāk kā 1 (jo pavisam kopā viņam ir ne vairāk kā 3 ienaidnieki, un pārējie parlamentārieši šajā brīdī savas palātas nemaina). Šāda gājiena rezultātā skaitlis N1 samazinās vismaz par 2 (jo P1 šajā palātā bija ienaidnieks vismaz diviem citiem parlamentāriešiem un bija savienots ar nogriezni ar vismaz diviem citiem parlamentāriešiem) jeb N1'£N1-2 (ar N1', N2', N' apzīmēsim nogriežņu skaitu katrā no palātām un kopā pēc P1 pāriešanas uz otru palātu). Pēc P1 pāriešanas uz otro palātu, nogriežņi, kas pirmajā palātā P1 savienoja ar viņa ienaidniekiem, tiek izdzēsti, tātad to skaits samazinās vismaz par 2. Palātas ietvaros nekas cits nemainās, tātad pārējo nogriežņu skaits paliek nemainīgs. Savukārt otrajā palātā pēc P1 pāriešanas uz to var rasties ne vairāk kā 1 jauns nogrieznis (jo parlamentārietim P1 šajā palātā ir ne vairāk kā 1 ienaidnieks), tātad N2 var palielināties ne vairāk kā par 1 jeb N2'£N2+1. Tātad N'=N1'+N2'£N1-2+N2+1=(N1+N2)-1=N-1 jeb N'<N, t.i., kopējais nogriežņu skaits pēc P1 pāriešanas uz citu palātu noteikti samazinās vismaz par vienu.
Pēc tam līdzīgi rīkojamies ar pārējiem parlamentāriešiem P2, P3, P4, …, Pk, līdz iegūsim vajadzīgā veida palātas. Šis process nevar turpināties bezgalīgi, jo N ir vesels nenegatīvs skaitlis un ar katru gājienu tas samazinās par veselu skaitu, tātad kādreiz šis process noteikti beigsies un būsim ieguvuši vajadzīgo parlamentāriešu sadalījumu palātās.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa