Uzdevumi

JMK 1994./95. m.g. 4. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. Vispirms noskaidrosim, kādā attālumā no lentas sākuma ir izdarītas atzīmes ar zilu zīmuli : 36cm, 72cm, 108cm, 144cm, 180cm, 216cm, 252cm, 288cm, 324cm, 350cm, … un kādā attālumā no lentas sākuma ir izdarītas atzīmes ar sarkanu zīmuli: 25cm, 50cm, 75cm, 100cm, 125cm, 150cm, 175cm, 200cm, 225cm, 250cm, 275cm, 300cm, 325cm, 350cm, …. Redzam, ka pēc kārtas devītā zilā atzīme (324cm) un trīspadsmitā sarkanā atzīme (325cm) atrodas 1cm attālumā viena no otras.

2. Ja divi naturāli skaitļi a un b, dalot tos ar kādu naturālu skaitli m, dod vienādus atlikumus, tad šo skaitļu starpība a-b dalās ar skaitli m. Ja skaitlis a, dalot ar m, dod atlikumu r, tad to var uzrakstīt a=m×k+r (k - vesels skaitlis), līdzīgi b=m×l+r (l - vesels skaitlis). Tad a-b=(m×k+r)-(m×l+r)=mk-ml+r-r=m(k-l), tātad a-b dalās ar b, ja a un b dalot ar m dod vienādus atlikumus.
a) Par meklētajiem skaitļiem der skaitļi 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46. Katru divu šo skaitļu starpība tiešām dalās ar 5, jo katrs no šiem skaitļiem, dalot to ar 5, dod atlikumu 1.
b) Lai pierādītu uzdevumā formulēto faktu, izmantosim Dirihlē principu: ja ir doti n būri un n×m+1 truši, tad, lai arī kā visus trušus izvietotu pa būriem, būs vismaz būris, kurā ir ievietoti vismaz m+1 truši.
Naturāls skaitlis, dalot ar 5, var dot atlikumu 0, 1, 2, 3 vai 4 (pavisam 5 dažādas iespējas). Šos atlikums iztēlosimies kā "būrus", kuros jāizvieto "truši" - dotie 46 skaitļi. Tātad mums ir 5 "būri" un 46=5×9+1 "truši". Pamatojoties uz Dirihlē principu, varam secināt, ka būs vismaz viens "būris", kurā būs vismaz 9+1=10 "truši", t.i., ir vismaz 10 skaitļi no dotajiem, dalot tos ar 5, dod vienādus atlikumus. Tātad katru divu šo skaitļu starpība dalās ar 5 un šie skaitļi ir meklētie 10 skaitļi.

3. Arī šī uzdevuma risinājums balstās uz Dirihlē principu.
Ja kompānijā ir k cilvēki, tad šajā kompānijā var būt cilvēki, kuriem ir 0 paziņu (nav neviena paziņas), ir 1 paziņa, 2, paziņas, 3 paziņas, …, k-2 paziņas vai k-1 paziņas. (Nevienam cilvēkam nevar būt k paziņas, jo tad būtu viņš pats sev paziņa, bet pašu sev par paziņu neuzskata.) Tāpat ievērosim, ka, ja šajā kompānijā ir kāds cilvēks, kuram nav neviena paziņas, tad nevar būt neviens cilvēks, kuram būtu k-1 paziņa, un ja kompānijā ir kāds cilvēks, kuram ir k-1 paziņa, tad nevar būt neviens cilvēks, kuram nebūtu neviena paziņas, t.i., ja šajā kompānijā kāds cilvēks A pazītu visus pārējos cilvēkus šajā kompānijā (viņam būtu k-1 paziņa), bet tā kā pazīšanās ir abpusējas, tad katram šīs kompānijas loceklim būtu vismaz viens paziņa - cilvēks A.
Šajā uzdevumā par "būriem" uzskatīsim paziņu skaitu vienam cilvēkam. Tātad pavisam ir k-1 "būri" - 0, 1, 2, 3, …, k-3, k-2 paziņas vai 1, 2, 3, …, k-2, k-1 paziņas. Bet "trušu" - cilvēku kompānijā ir k ) par 1 vairāk nekā "būru". Tātad, izvietojot visus "trušus" pa "būriem", vismaz vienā "būrī" nonāks vismaz divi "truši", t.i., vismaz diviem cilvēkiem šajā kompānijā ir vienāds paziņu skaits, kas arī bija jāpierāda.

4. Piemēram, plaknē vienu taisni a nokrāsojam melnu, vienu punktu A uz tās nokrāsojam zaļu, bet pārējo plakni atstājam baltu (skat. 67. zīm.).

Patiešām, katra taisne, kas atrodas šajā plaknē, nav nokrāsota vairāk kā divās krāsās: taisne a nokrāsota melnā un zaļā krāsā, taisnes, kas krustojas ar taisni a punktā A, ir nokrāsotas baltā un zaļā krāsā, taisnes, kas krustojas ar taisni a punktos, kas nesakrīt ar A, ir nokrāsotas baltā un melnā krāsā, taisnes, kas nekrusto taisni a ir nokrāsotas vienā krāsā - baltas. Lai kāda taisne šajā plaknē būtu nokrāsota vairāk nekā divās krāsās, tai būtu jākrusto taisne a gan punktā A, gan vēl kādā citā punktā. Taču, ja divas taisnes krustojas, tās var krustoties tikai vienā punktā; ja divām taisnēm ir vismaz divi kopīgi punkti, tad tās sakrīt, t.i., ir viena un tā pati taisne. Tātad tāds gadījums, ka kāda taisne būtu nokrāsota trīs dažādās krāsās, pie minētā krāsojuma, nav iespējams.

5. Izņemsim no kastītes divus dažāda garuma zīmuļus Z1 un Z2; to var izdarīt, jo teikts, ka kastītē ir dažāda garuma zīmuļi. Ja to krāsas jau ir dažādas, tad Z1 un Z2 ir meklētie zīmuļi, taču, ja zīmuļi Z1 un Z2 ir vienā krāsā, tad izņemsim no kastītes vēl trešo zīmuli Z3, kura krāsa ir atšķirīga no zīmuļu Z1 un Z2 krāsas; tādu zīmuli noteikti atrast var, jo teikts, ka kastītē ir dažādu krāsu zīmuļi. Ja Z3 un Z1 ir dažāda garuma, tad tie ir meklētie zīmuļi, taču, ja Z3 ir vienāda garuma ar Z1, tad Z3 noteikti nav vienāda garuma ar Z2 (jo Z3=Z1 un Z1¹Z2, tātad Z3¹Z2). Tā kā zīmuļi Z1 un Z2 ir vienādās krāsās, bet Z3 ir no tiem atšķirīgā krāsā, tad Z2 un Z3 būs gan atšķirīgās krāsās, gan atšķirīga garuma.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa