Jauno matemātiķu konkursa (JMK) 1994./95. m.g. 4. kārtas uzdevumi

1. Viens meistars uz lentes izdara atzīmes ar zilu zīmuli ik pēc 36 cm. (Pirmo atzīmi viņš izdara mērot no lentes sākuma. Pieņemam, ka lente ir cik patīk gara.) Otrais meistars līdzīgi ar sarkanu zīmuli izdara atzīmes ik pēc 25 cm. Vai var gadīties, ka kādā vietā uz lentas zilā atzīme būs 1 cm attālumā no kādas sarkanās atzīmes?

2. a) Pierādīt, ka starp skaitļiem no 1 līdz 46 var atrast 10 tādus skaitļus, ka jebkuru divu starpība dalās ar 5.
b) Pierādīt, ka starp patvaļīgiem 46 skaitļiem var atrast 10 tādus skaitļus, ka jebkuru divu skaitļu starpība dalās ar 5.

3. Pierādīt, ka katrā kompānijā noteikti var atrast divus cilvēkus, kuriem šajā kompānijā ir vienāds paziņu skaits. (Ja A pazīst B, tad B pazīst A.)

4. Izkrāsot plakni trijās krāsās tā (jāizmanto visas trīs krāsas), lai uz katras taisnes būtu ne vairāk kā divas krāsas.

5. Kastītē ir dažādu garumu un dažādu krāsu zīmuļi. Pierādiet, ka starp šiem zīmuļiem noteikti var atrast divus zīmuļus, kuriem ir gan atšķirīga krāsa, gan atšķirīgs garums.

Atrisinājumi

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa