Uzdevumi

JMK 1994./95. m.g. 5. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. Par katru zēnu pēc kārtas pieņemsim, ka viņš meloja.
1) Pieņemsim, ka meloja Aldis un pārējie zēni teica taisnību. Tad pēc zēnu teiktā sanāk, ka īstenībā Aldis bija pirmais vai pēdējais (jo viņš meloja), Pēcis bija pirmais, otrais vai trešais (viņš nemeloja), Didzis bija pirmais (viņš nemeloja) un Mārcis bija pēdējais (viņš arī nemeloja). Taču nevar būt, ka Aldis bija pirmais vai pēdējais, jo pirmais bija Didzis un pēdējais bija Mārcis. Tātad īstenībā Aldis nav melojis.
2) Pieņemsim, ka meloja Pēcis un pārējie zēni teica taisnību. Tad sanāk, ka īstenībā Aldis bija otrais vai trešais (viņš nemeloja), Pēcis bija pēdējais (viņš meloja), Didzis bija pirmais (viņš nemeloja) un Mārcis bija pēdējais (viņš arī nemeloja). Taču tagad sanāk, ka gan Pēcis, gan Mārcis skriešanās sacensībās bija pēdējie, taču tā nevar būt, jo pēdējais bija tikai viens no zēniem.
3) Pieņemsim, ka meloja Didzis un pārējie zēni teica taisnību. Tad sanāk, ka īstenībā Aldis bija otrais vai trešais (viņš nemeloja), Pēcis bija pirmais, otrais vai trešais (viņš nemeloja), Didzis bija otrais, trešais vai pēdējais (viņš meloja) un Mārcis bija pēdējais (viņš arī nemeloja). Šajā gadījumā nekādas pretrunas nerodas un sacensību rezultāts varēja būt sekojošs: Pēcis bija pirmais (jo par viņu ir teikts, ka viņš varēja pirmais), Mārcis bija pēdējais (kā viņš pats to apgalvo), bet Aldis un Didzis viens finišēja otrais un otrs - trešais.
4) Pieņemsim, ka meloja Mārcis un pārējie zēni teica taisnību. Tad sanāk, ka īstenībā Aldis bija otrais vai trešais (viņš nemeloja), Pēcis bija pirmais, otrais vai trešais (viņš nemeloja), Didzis bija pirmais (viņš nemeloja) un Mārcis bija pirmais, otrais vai trešais (viņš meloja, teikdams, ka ir pēdējais). Taču tagad sanāk, ka neviens nav bijis pēdējais, tātad šāds gadījums arī neder.
Esam izskatījuši visus gadījumus, un vienīgais gadījums, kas atbilst uzdevuma prasībām (ka viens zēns ir melojis un pārējie teikuši patiesību) ir 3), t.i., meloja Didzis, teikdams, ka ir pirmais, bet patiesībā sacensībās uzvarēja Pēcis.

2. Jā, varēs. Domās sadalīsim visu paklāju 44 metri mazākos kvadrātiņos 11metri (skat. 68. zīm.). Iegūsim 16 mazos kvadrātiņus. Tā kā kodes ir izgrauzušas 15 punktvieda caurumiņus (viens caurumiņš atrodas tikai vienā mazajā kvadrātiņā un nevar būt tā, ka viens caurumiņš būtu sabojājis uzreiz divus vai vairāk mazos kvadrātiņus), tad pavisam sabojāti var būt, augstākais, 15 mazie kvadrātiņi (katrs caurumiņš citā kvadrātiņā). Tātad vismaz viens kvadrātiņš 11 metri palicis nesabojāts, kas arī bija nepieciešams.

3. Tā kā tiek apskatīti desmitciparu skaitļi, tad meklējamajos skaitļos katrā nevar būt vairāk par pieciem divniekiem. Ja desmitciparu skaitlī būtu seši divnieki, tad starp šiem divniekiem piecās vietās jābūt ierakstītam ciparam 5 (pretējā gadījumā blakus atradīsies divi cipari 2). Bet tad skaitlī kopā būs vismaz 6+5=11 cipari. Tālāk skaitīsim, cik ir vajadzīgo skaitļu, kuros ir 1 divnieks, 2 divnieki, 3 divnieki, 4 divnieki vai 5 divnieki (vajadzīgajā skaitlī ir vismaz viens divnieks, jo uzdevumā teikts, ka tie sastāv no cipariem 2 un 5).
1 divnieks: tā kā ir viens divnieks, tad nevienā vietā nevarēs būt blakus divi divnieki (jo otra divnieka vienkārši nav), tātad vienu divnieku varam ievietot jebkurā no desmit vietām (desmitciparu skaitlī ir 10 "vietiņas" vienam ciparam), pārējie cipari šādā skaitlī būs piecinieki. Tātad pavisam ir 10 desmitciparu skaitļi, kuros ir viens divnieks un 9 piecinieki un visi šie skaitļi apmierina uzdevuma nosacījumus.
2 divnieki: ja vajadzīgā skaitļa pirmais cipars ir 2, tad otrajam ciparam jābūt 5 (savādāk skaitlī divi divnieki būs blakus). Tad paliek 8 vietiņas, kur var būt ielikts otrs divnieks (nekādu citu ierobežojumu nav). Tātad vajadzīgo skaitļu, kas sākas ar cipariem 25.., un kuros ir 2 divnieki, ir 8. Līdzīgi varam saskaitīt, ka vajadzīgo skaitļu, kuros ir divi divnieki un kuri sākas ar cipariem 525..., ir 7, kuri sākas ar cipariem 5525..., ir 6, kuri sākas ar cipariem 55525..., ir 5, kuri sākas ar cipariem 555525..., ir 4, kuri sākas ar cipariem 5555525..., ir 3, kuri sākas ar cipariem 55555525..., ir 2 un 1 vajadzīgais skaitlis, kas sākas ar cipariem 555555525... Tātad kopā šādi skaitļi ir 8+7+6+5+4++3+2+1=36.
3 divnieki: skaitīsim līdzīgā veidā kā skaitījām skaitļus, kas satur 2 divniekus. Ja šāds skaitlis sākas ar 2, tad otrais cipars noteikti ir 5. Atlikušajās 8 vietās ir jāizvieto 2 divnieki, to var izdarīt 6+5+4+3+2+1=21 veidos (skaitīšana notika pēc paņēmiena, kā tika skaitīti skaitļi ar 2 divniekiem). Līdzīgi, ja šāds skaitlis sākas ar 525..., tad vajadzīgie skaitļi ir 5+4+3+2+1=15, ja tas sākas ar 5525..., tad vajadzīgie skaitļi ir 4+3+2+1=10, ja šāds skaitlis sākas ar 55525..., tad vajadzīgie skaitļi ir 3+2+1=6, ja šāds skaitlis sākas ar 555525..., tad vajadzīgie skaitļi ir 2+1=3 un vēl ir 1 skaitlis 5555525252. Tātad vajadzīgo skaitļu, kas satur 3 divniekus, ir 21+15+10+6+3+1=56.
4 divnieki: skaitām līdzīgi: ja skaitlis satur 4 divniekus un sākas ar cipariem 25..., tad 8 vietās izvietot trīs divniekus var 10+6+3+1=20 veidos, ja šāds skaitlis sākas ar cipariem 525..., tad trīs divniekus atlikušajās 7 vietās var izvietot 6+3+1=10 veidos, ja skaitlis sākas ar 5525..., tad šādu skaitļu ir 3+1=4 un 1 skaitlis 5552525252. Pavisam vajadzīgo skaitļu, kas satur 4 divniekus, ir 20+10+4+1=35.
5 divnieki: šādu skaitļu pavisam ir 6: skaitlis 2525252525, skaitlis 5252525252 un četri skaitļi, kas sākas un beidzas ar 2 (četri tāpēc, ka starp pieciem divniekiem ir 4 vietas, kur kopā jāievieto pieci piecinieki, tātad vienā vietā divi piecinieki būs blakus un ir četras iespējas, kad divi piecinieki ir blakus - katrā vietiņā starp diviem divniekiem).
Tātad pavisam ir 10+36+56+35+6=143 desmitciparu skaitļi, kas sastāv no cipariem 2 un 5 un kuros divi cipari 2 neatrodas blakus.

4. Sagriežot kubu 333 mazākos kubiņos 111, iegūto kubiņu dažas skaldnes atradās uz lielā kuba virsmas, bet citas - kuba iekšpusē. Taču vienam kubiņam 111 visas sešas skaldnes atradās lielā kuba iekšpusē (tas ir "vidējais" kubiņš), tātad šim kubiņam katra skaldne bija kopīga ar cita iegūstamā kubiņa vienu skaldni un griezuma plaknei ir jāiet caur šo skaldni. Tā kā kubam ir 6 skaldnes, tad, lai izgrieztu "vidējo" kubiņu, ir vajadzīgi vismaz 6 taisni griezieni, jo nekādas divas kuba skaldnes neatrodas vienā plaknē, tātad nekādas divas skaldnes nevar izgriezt ar vienu taisnu griezienu. Kubu 333 var sagriezt mazākos kubos 111 ar sešiem taisniem griezieniem, piemēram tā, kā parādīts 69. zīm.. Pie tam sagrieztās daļas pārvietot nav nepieciešams.

5. Rūķītim jārīkojas sekojoši. Rūķītis nostājas pie sienas tā, lai siena būtu tam kreisajā pusē, atstāj savā pašreizējā atrašanās vietā savu sarkano cepurīti un sāk iet gar sienu tā, lai siena visu laiku būtu viņam no kreisās puses. Ceļa laikā rūķītis saskaita, cik reizes viņam bija jāpagriežas pa labi (pulksteņrādītāja virzienā, 70. zīm. a)) un cik reizes bija jāpagriežas pa kreisi (pretēji pulksteņrādītāja virzienam, 70. zīm. b)).

Rūķītis turpina ceļu tik ilgi, kamēr atgriežas vietā, no kuras sāka ceļu (šajā vietā rūķītis atstāja savu sarkano cepuri). Ja rūķītis atrodas sienas iekšpusē, tad ejot gar sienu tā, ka siena visu laiku atrodas pa kreisi, pagriezienu pa labi būs tieši par 4 vairāk nekā pagriezienu pa kreisi, ja rūķītis atrodas sienas ārpusē, tad pagriezienu pa kreisi būs par 4 vairāk nekā pagriezienu pa labi. Ja rūķītis ir saskaitījis, cik visā ceļā bija viena un otra veida pagriezienu, tad nosakot, kurš no šiem skaitļiem lielāks, rūķītis secina, kur viņš atrodas.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa