Uzdevumi

JMK 1995./96. m.g. 3. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. Saskaitīsim, cik pavisam ceļu gali ir Ziemeļblāzmas zemē. Tā kā ir 15 ciemi un no katra ciema ir ceļš tieši uz 3 citiem ciemiem, t.i., katrā ciemā ieiet vai iziet tieši 3 ceļu gali, tad pavisam kopā ir 3×15=75 ceļu gali. Taču katram ceļam ir tieši divi gali, jo ceļš sākas vienā ciemā un beidzas otrā, pie tam tas nesazarojas, tātad kopējam ceļu galu skaitam jābūt pāra skaitlim. Taču 75 nav pāra skaitlis, tātad uzdevumā aprakstītā Ziemeļblāzmas zeme nevar eksistēt.

2. Kvadrātus var izvietot, piemēram tā, kā parādīts 73. zīmējumā.

Mēģināsim šos kvadrātus izkrāsot ar trim krāsām tā, lai nekādi divi kvadrāti, kam ir kopīgs malas nogrieznis, nebūtu izkrāsoti vienā krāsā (skat. 73. zīm.). Izmantosim zaļu, zilu un dzeltenu krāsu. Kvadrātu 1 nokrāsosim zaļu, tad kvadrāts 2 var būt vai nu zils vai dzeltens (izvēlēsimies zilu krāsu). Kvadrātam 5 ir kopīga mala gan ar kvadrātu 1, gan ar kvadrātu 2, tātad tas ir jākrāso citā krāsā, tātad dzeltens. Kvadrātam 4 ir kopīgs malas nogrieznis gan ar kvadrātu 1, gan ar kvadrātu 5, tātad tas nevar būt zaļš vai dzeltens un tam ir jābūt zilam. Savukārt kvadrāts 8 nevar būt zils vai dzeltens, tātad tam ir jābūt zaļam. Kvadrātam 9 savukārt ir jābūt zilam, citādi tas būs vienādā krāsā ar kvadrātu 5 vai 8, bet ar šiem kvadrātiem kvadrātam 9 ir kopīga mala. Kvadrātu 3 varam krāsot dzeltenu vai zaļu (abi gadījumi būtiski neatšķiras; krāsosim šo kvadrātu dzeltenu). Tādā gadījumā kvadrātam 6 jābūt zaļam, kvadrātam 10 jābūt dzeltenam, kvadrātam 7 jābūt zilam. Bet kvadrātam 11 ir kopīgs malas nogrieznis gan ar kvadrātiem 6, 7 un 10, katrs no kuriem ir nokrāsots citā krāsā. Tātad, lai arī kādā krāsā - zilā, zaļā vai dzeltenā, nokrāsotu kvadrātu 11, būs viens kvadrāts (7, 6 vai 10), kurš būs vienā krāsā ar kvadrātu 11 un kuram būs kopīgs malas nogrieznis ar kvadrātu 11.

3. Ja pavārs būtu nozadzis piparus, tad viņš to zinātu. Bet tā kā tie, kas zog piparus, vienmēr melo, tad zaglim būtu jāmelo arī šoreiz, t.i., jāsaka, ka viņš nezina, kurš nozaga piparus (īstenībā viņš zinātu). Tātad pavārs nav nozadzis piparus, jo viņš atbildēja, ka zina, kurš to ir izdarījis. Ja pavārs, sacīdams, ka zina, kurš ir zaglis, melotu, tad īstenībā viņš nezinātu, kurš ir zaglis, tātad pats arī nebūtu zaglis. Ja pavārs sacītu taisnību, tad viņš noteikti nav zaglis, jo zagļi melo.

4. Parlamentā ir tieši viens godīgs deputāts.
Vismaz viens godīgs deputāts ir saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem. Ja parlamentā būtu vismaz divi godīgi deputāti, tad no šiem deputātiem varētu izveidot pāri, kurā abi deputāti būtu godīgi. Bet tas ir pretrunā ar uzdevuma nosacījumu, ka jebkurā deputātu pārī viens deputāts ir uzpirkts, tātad divi vai vairāk godīgi deputāti parlamentā būt nevar.

5. Ja Salatētis dāvanas būtu sapakojis tā, kā prasīts uzdevumā, tad lielās kastes visas skaldnes būtu noklātas ar mazo kastīšu skaldnēm, kuru izmēri ir vai nu 10cm5cm, vai nu 10cm15cm, vai arī 5cm15cm. Visu šo skaldņu laukumi dalās ar 5. Tātad arī lielās kastes katras skaldnes laukumam ir jādalās ar 5. Lielās kastes skaldnes ir ar izmēriem 96cm125cm, 1996cm125cm, 1996cm96cm. Kā redzam, skaldnes 1996cm96cm laukums nedalās ar 5, tātad uzdevuma prasības nav izpildāmas.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa