Uzdevumi

JMK 1995./96. m.g. 4. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. Skatīt 74. zīmējumu.

2. Apzīmēsim pirmajā rindiņā ierakstīto skaitļu summu ar p1, otrajā rindiņā - p2, trešajā - p3, ceturtajā - p4, piektajā - p5. Savukārt summas pa kolonnām apzīmēsim attiecīgi ar n1 - pirmajā kolonnā, n2 - otrajā kolonnā, n3 - trešajā kolonnā, n4 - ceturtajā kolonnā un n5. Uzdevumā dots, ka visi skaitļi p1, p2, p3, p4, p5 ir pāra skaitļi, bet visi skaitļi n1, n2, n3, n4 un n5 ir nepāra skaitļi. Apzīmēsim ar S visu tabulā ierakstīto skaitļu summu. Visu skaitļu summu var aprēķināt, vispirms aprēķinot summas katrā rindiņā un pēc tam saskaitot šīs summas, tātad S=p1+p2+p3+p4+p5. Tāpat S var aprēķināt, vispirms saskaitot skaitļus pa kolonnām un pēc tam saskaitot šīs summas, t.i., S=n1+n2+n3+n4+n5. Tā kā p1, p2, p3, p4, p5 ir pāra skaitļi un vairāku pāra skaitļu summa ir pāra skaitlis, tad S=p1+p2+p3+p4+p5 ir pāra skaitlis. Savukārt n1, n2, n3, n4 un n5 ir nepāra skaitļi un nepāra skaita nepāra skaitļu summa ir nepāra skaitlis, tad S=n1+n2+n3+n4+n5 ir nepāra skaitlis. Tā kā tabulā ierakstīto skaitļu summa nav atkarīga no tā, kādā veidā mēs šos skaitļus skaitām, tad S vērtībai abos gadījumos jābūt vienam un tam pašam skaitlis un tas nevar būt vienlaicīgi gan pāra, gan nepāra skaitlis. Tātad kvadrātā 55 nevar ierakstīt naturālus skaitļus tā, lai to summas pa rindiņām būtu pāra skaitļi, bet summas pa kolonnām - nepāra skaitļi.

3. Apzīmēsim Vinnija Pūka medus podus ar burtiem A, B, C, D un E. Lai sakārtotu šo podus rindā sākot ar vieglāko, Pūks var rīkoties sekojoši.
1. svēršana. Salīdzina podus A un B. Tā kā visi medus podi ir dažādi, tad var gadīties ka A ir vieglāks par B (A<B) vai A ir smagāks par B (A>B). Pieņemsim, ka A<B; otrā gadījumā tālākās darbības un secinājumi ir līdzīgi.
2. svēršana. Salīdzina podus C un D. Atkal ir divas iespējās: C<D vai C>D. Pieņemsim, ka C<D (otru iespēju pēta līdzīgi).
3. svēršana. Salīdzina pirmajā un otrajā svēršanā noskaidrotos smagākos podus; šoreiz - B ar D.
a) Ja B<D, tad ņemot vērā 1. svēršanu, varam sakārtot trīs podus A<B<D.
b) Ja D<B, tad ņemot vērā 2. svēršanu, varam sakārtot šādus trīs podus C<D<B.
Pēc trešās svēršanas nav noskaidrotas divu podu - E un C vai E un A - atrašanās vietas sakārtotajā rindā.
4. un 5. svēršanas. Šajās svēršanās noskaidrosim poda E atrašanās vietu.
a) Ja ir sakārtota rinda A<B<D, tad podu E vispirms salīdzinām ar podu B. Pēc tam, atkarībā no šīs svēršanas rezultāta, podu E salīdzinām ar podu A (ja E<B) vai podu D (ja E>B). Pēc šīs svēršanas pods E būs viennozīmīgi iekārtots šajā rindā.
b) Ja ir sakārtota rinda C<D<B, tad podu E vispirms salīdzinām ar podu D. Pēc tam, atkarībā no šīs svēršanas rezultāta, podu E salīdzinām ar podu C (ja E<B) vai podu B (ja E>B). Pēc šīs svēršanas poda E vieta šajā rindā būs noteikta viennozīmīgi.
Pēc šīm svēršanām palicis "neiekārtots" viens pods: a) gadījumā pods C vai b) gadījumā pods A.
a) Ir zināms, ka C<D (noskaidrojām 2. svēršanā), tātad pods C nav jāsalīdzina ar podiem, kas atrodas pa labi no D un ar pašu podu D. Pa kreisi no D var atrasties ne vairāk kā 3 podi. Tātad pods C vispirms (6. svēršanā) ir jāsalīdzina ar podu, kurš sakārtotajā rindā ir otrais vieglākais, tad (7. svēršanā), atkarībā no iepriekšējās svēršanas rezultāta, ar visvieglāko vai trešo vieglāko jau sakārtotajā rindā. Pēc šīs svēršanas viennozīmīgi varēsim sakārtot visus piecus podus rindā pēc svara.
b) Lai noskaidrotu poda A atrašanās vietu, rīkojamies līdzīgi. Tā kā A<B, tad nav vajadzīgs podu A salīdzināt ar podu B un ar tiem podiem, kas rindā atrodas pa labi no B. Tātad A būtu jāsalīdzina, augstākais ar 3 citiem podiem. 6.svēršanā salīdzina podu A ar otro vieglāko jau sakārtotajā rindā, bet 7.svēršanā rīkojas atkarībā no iepriekšējās svēršanas rezultāta. Arī šoreiz viennozīmīgi varēs noteikt poda A atrašanās vietu rindā.
Kā redzam, lai izpildītu uzdevumā aprakstīto uzdevumu, Pūkam nevajadzēs izdarīt vairāk nekā septiņas svēršanas.

4. Jā, tā var gadīties.
Piemēram, biznesmeņa ienākumi katru mēnesi var būt 1000 Ls, bet izdevumi attiecīgi pa mēnešiem ir: janvārī - 700 Ls, februārī - 1050 Ls, martā - 1100 Ls, aprīlī - 1100 Ls, maijā - 1100 Ls, jūnijā - 700 Ls, jūlijā - 1100 Ls, augustā - 1100 Ls, septembrī - 1100 Ls, oktobrī - 1100 Ls, novembrī - 700 Ls, decembrī - 1100 Ls.
Ienākumi katrus piecus mēnešus pēc kārtas bija 5×1000=5000 Ls. Izdevumi no janvāra līdz maijam un no februāra līdz jūnijam bija 700+1050+1100+1100+1100=5050 Ls > 5000 Ls. Izdevumi citos piecos pēc kārtas ņemtos piecos mēnešos bija 700+1100+1100+1100+1100=5100 Ls > 5000 Ls, kas apmierina uzdevuma nosacījumus.
Visa gada kopējie ienākumi ir 12×1000=12000 Ls, bet visa gada izdevumi bija 700×3+1050+1100×8=11950 Ls < 12000 Ls, t.i., visa gada kopējie ienākumi pārsniedz visa gada kopējos izdevumus.

5. Papīra strēmelīti 321 cm var sadalīt 7 kvadrātiņos 33 cm. Tātad, acīmredzot, būs jāizloka kubs, kura šķautnes garums ir 3 cm. Tā kā kubam ir 6 skaldnes, bet dotajā strēmelītē ir 7 atbilstošie kvadrātiņi, tad locīšanas gaitā drīkstam "pazaudēt" vienu kvadrātiņu. Kā var veikt locīšanu, parādīts 75. a) zīmējumā. (Nepārtrauktā līnija nozīmē ielocīšanu uz "iekšu", bet pārtrauktā - uzlocīšanu uz "augšu").

Iekrāsosim strēmelītes "redzamo" pusi. 75. b) zīmējumā parādīts iegūtais kubs - augšējo skaldni veido abas a) zīmējumā pa diagonāli salocītās rūtiņas, priekšējo un aizmugurējo skaldni veido strēmelītes abas galējās rūtiņas, tām ir redzama nenokrāsotā puse, bet pārējās trīs skaldnes veido pārējās rūtiņas, tām ir redzama iekrāsotā puse.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa