Uzdevumi

JMK 1996./97. m.g. 1. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. Apmainīt vietām divus klucīšus var 15 veidos. Pareizo atbildi iegūsim apmainot vietām pirmo un pēdējo klucīti (83-26=57.) Nav grūti pārliecināties, ka visos atlikušajos gadījumos iegūsim nepareizu vienādību.
Aplūkosim šos gadījumus:

1) 37-26¹58;
2) 23-76¹58;
3) 63-27¹58;
4) 53-26¹78;
5) 72-36¹58;
6) 76-23¹58;
7) 75-26¹38;
8) 78-26¹53;
9) 73-62¹58;
10) 73-56¹28;
11) 73-86¹52;
12) 73-25¹68;
13) 73-28¹56;
14) 73-26¹85.

2. Katra no dotajām figūrām sastāv no 20 rūtiņām, tā kā ikvienu no tām ir jāsadala 4 vienādās figūriņās, tad katra no iegūtajām figūriņām sastāvēs no 5 rūtiņām.
Aplūkosim pirmo no dotajām figūrām. Pavisam ir 12 veidu figūriņas, kas sastāv no 5 rūtiņām (skat. 76. zīm.).

Mēģinot sadalīt doto figūru četrās vienādās daļās, redzam, ka no tās var izgriezt tikai 2 pirmā veida figūriņas (skat. 77.zīm.), 3 otrā veida figūriņas (78. zīm.), 3 trešā veida figūriņas (79.zīm.), 3 ceturtā veida figūriņas (skat. 80. zīm.), 2 piektā veida figūriņās (81. zīm.), 2 sestā veida figūriņas (82. zīm.). Neder arī pēdējo piecu veidu figūriņas.

Paliek vairs tikai viena veida figūriņa un, kā parādīts 83. zīmējumā, doto figūru var sagriezt 5 šādās figūriņās.

Līdzīgā veidā var izspriest arī par pārējām divām figūrām, to griezumi ir parādīti 84. un 85. zīmējumos.

3. No uzdevuma nosacījumiem seko, ka bērnu ir par 2 vairāk nekā apelsīnu un par 1 vairāk nekā banānu. Tātad bērnu ir par 3 vairāk nekā augļu kopā. Bet tas nozīmē, ka apelsīni un banāni kopā ir tik pat cik apelsīni un vēl 2+3=5 augļi (skat.86.zīm.: apelsīnu ir par 2 mazāk nekā bērnu, un bērnu ir par 3 mazāk nekā banānu un apelsīnu kopā), tātad banāni ir 5. Tālāk varam izskaitļot, ka apelsīni ir 5-1=4 un bērni ir 5+1=6.

Atbilde. Mamma nopirka 4 apelsīnus un 5 banānus, un šos augļus apēda 6 bērni.

4. a) Divu naturālu skaitļu summa var būt nepāra skaitlis tikai tādā gadījumā, ja viens saskaitāmais ir pāra skaitlis, bet otrs - nepāra skaitlis. Pārliecināsimies par to. Naturāls skaitlis ir pāra skaitlis, ja tas dalās ar 2, tātad vispārīgā veidā pāra skaitli var uzrakstīt formā 2k, kur k ir naturāls skaitlis (k var būt gan pāra, gan nepāra). Nepāra skaitlis dalot ar 2 dod atlikumu 1, tāpēc to var uzrakstīt formā 2k+1, k ir naturāls skaitlis.
Ja abi saskaitāmie ir pāra skaitļi 2k un 2n, k un n naturāli skaitļi, tad to summa ir 2k+2n=2(k+n) pāra skaitlis.
Ja abi saskaitāmie ir nepāra skaitļi 2k+1 un 2n+1, k un n naturāli, tad to summa ir (2k+1)+(2n+1)=2k+2n+2=2(k+n+1) ir pāra skaitlis, jo dalās ar 2.
Ja viens saskaitāmais ir pāra skaitlis 2k un otrs ir nepāra skaitlis 2n+1, k un n - naturāli, tad to summa ir 2k+(2n+1)=2k+2n+1=2(k+n)+1 ir nepāra skaitlis.
Tātad starp uzdevumā dotajiem skaitļiem viens ir pāra skaitlis, tāpēc tas dalās ar 2. Sareizinot šo skaitli ar otru saskaitāmo, reizinājums arī dalīsies ar 2, tātad būs pāra skaitlis.

b) Starp dotajiem 1996 skaitļiem vismaz viens skaitlis noteikti ir pāra skaitlis. Ja tā nebūtu, tad visi 1996 skaitļi būtu nepāra skaitļi. Bet jebkuru divu nepāra skaitļu summa ir pāra skaitlis, tātad visu 1996 nepāra skaitļu summa arī būs pāra skaitlis, t.i. 998 pāra skaitļu summa.
Starp dotajiem skaitļiem ir vismaz viens pāra skaitlis, tātad visu šo skaitļu reizinājums arī būs pāra skaitlis.
Šajā uzdevumā izmantojām faktu, ka pāra skaita nepāra skaitļu summa ir pāra skaitlis.

5. Apzīmēsim viena rūķīša vestīšu skaitu ozolkoka skapī ar o, bērza skapī - ar b un riekstkoka skapī ar r. Tā kā katram rūķītim ir tieši 10 vestītes, tad o+b+r=10 un o+b=10-r. Ja riekstkoka skapī ir r vestītes, tad abos pārējos skapjos ir 10-r vestītes, un tā kā katrā skapī ir vismaz 1 vestīte, tad ozolkoka skapī var būt 1, 2, …, 10-r-1=9-r vestītes. Bērza skapī glabāsies visas atlikušās vestītes, tātad ozola un koka skapjos esošo vestīšu skaitu o un b var izvēlēties 9-r veidos. Riekstkoka skapī var glabāties 1 vestīte (r=1), 2, 3, 4, 5, 6, 7 vai 8 vestītes. Vairāk nekā 8 vestītes riekstkoka skapī nevar glabāties, jo mazākais skaits vestīšu ozola un bērza skapjos var būt 1+1=2 un 10-2=8 ir lielākais iespējamais vestīšu skaits riekstkoka skapī. Ja riekstkoka skapī ir 1 vestīte, tad pārējos skapjos esošo vestīšu skaitu var izvēlēties 9-1=8 veidos, t.i., 8 rūķīšiem riekstkoka skapī ir 1 vestīte, ja r=2, tad 9-2=7 rūķīšiem riekstkoka skapī ir 2 vestītes, …, ja r=8, tad 9-8=1 rūķītim riekstkoka skapī ir 8 vestītes. Visiem šiem rūķīšiem vestīšu izvietojums kaut vienā skapī atšķiras, tātad mežā pavisam var dzīvot ne vairāk kā 1+2+3+4+5+6+7+8=36 rūķīši.
Atbilde. Cipcap mežā dzīvo ne vairāk kā 36 rūķīši.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa