Uzdevumi

JMK 1996./97. m.g. 2. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. Saskaitīsim, kādi un cik kvadrāti un trijstūri ir redzami 8. zīmējumā.
To var redzēt 87. zīmējumā. Tātad kopā ir 12+2+4=18 trijstūri un 7+2=9 kvadrāti.
Atbilde. Zīmējumā redzami 9 kvadrāti un 18 trijstūri.

2. Skaitli 1996 kā doto skaitļu reizinājumu var izteikt sekojoši:
1996=4×499(×1)
1996=2×2×499(×1)
1996=2×998(×1).
Tā kā labirintā ir trīs maisi ar 2 dārgakmeņiem, apzīmēsim tos - 21, 22 un 23 (skat. 88.zīm.).

Alise nevar ne reizi iet pa ceļa posmu, kurā atrodas maiss ar 498 dārgakmeņiem (jo 1996 nedalās ar 498 bez atlikuma).
Savākt tikai maisus ar 2 un 998 dārgakmeņiem un nokļūt C Alisei arī neizdosies, jo tad ir jāiet vēl vismaz gar maisu ar 499 vai gar maisu ar 1 dārgakmeni. Bet paiet maisiem garām, tos nesavācot, Alise nedrīkst.
Savākt maisus ar 1, 2 un 998 dārgakmeņiem Alise var 3 veidos (vienreiz ņemot maisu 21, otrreiz ejot caur 22, bet trešoreiz savācot maisu 23).
Labirintā ir 1 maiss ar 4 un viens maiss ar 499 dārgakmeņiem, tātad 1996=4×499 Alise var realizēt tikai vienā veidā. Savākt maisus ar 4, 499 un 1 dārgakmeni Alisei neizdosies, jo, lai nokļūtu centrā, vēlreiz būs jāšķērso ceļa posms, kur ir maiss ar 499 dārgakmeņiem, bet tas nav atļauts.
Kā jau redzējām iepriekš, vienā gājienā savākt maisus ar 499 un 1 dārgakmeni Alisei neizdosies, tātad nevarēs arī savākt reizē maisus ar 2, 499 un 1 dārgakmeni. Savukārt savākt maisus ar 499, 2 un 2 dārgakmeņiem var 3 dažādos veidos: 1) savācot maisus 21, 22 un 499; 2) 23, 21 un 499; 3) 23, 22 un 499.
Esam aplūkojuši visas iespējas, kā Alise var iziet cauri labirintam, izpildot nosacījumus. Tātad šo labirintu var iziet 3+1+3=7 dažādos veidos.

3. Pārveidosim doto vienādību
5a2-3=14a
5a2-14a=3
a(5a-14)=3
Tā kā a ir vesels skaitlis, tad arī 5a-14 ir vesels skaitlis. Skaitli 3 kā veselu skaitļu reizinājumu var izteikt 4 veidos:
3=1×3=3×1=(-1)×(-3)=(-3)×(-1)
Tātad vienlaicīgi ir jāizpildās šādām vienādībām:
I a=1 un 5a-14=3, bet 5×1-14¹3, tātad a¹1
II a=3 un 5a-14=1; 5×3-14=1, tātad a=3.
III a=-1 un 5a-14=-3, bet 5×(-1)-14¹-3, tātad a¹-1
IV a=-3 un 5a-14=-1, bet 5×(-3)-14¹-1, tātad a¹-3.
Redzam, ka vienīgā iespējamā a vērtība veselos skaitļos ir 3.
Atbilde. a=3.

4. Apzīmēsim ar a Jānīša sākotnējā kvadrāta malas garumu, ar b - Pēterīša sākotnējā kvadrāta malas garumu. Tad Jānīša kvadrāta laukums bija a2, bet Pēterīša kvadrāta laukums bija b2. Pēc samazināšanas Jānītis ieguva kvadrātu ar malas garumu a-0,2a=0,8a un laukumu (0,8a)2=0,64a2, bet Pēterītis ieguva kvadrātu ar laukumu b2-0,21b2=0,79b2. Tā kā jauniegūtie kvadrāti ir vienādi, tad arī to laukumi ir vienādi:
0,64a2=0,79b2
Izdalīsim vienādības abas puses ar 0,64:
a2=(0,79:0,64)b2
a2=b2=b2=
No pēdējās vienādības redzams, ka Jānīša sākotnēja kvadrāta laukums bija lielāks nekā Pēterīša sākotnējā kvadrāta laukums, tātad Jānītis sākumā bija uzzīmējis lielāku kvadrātu.
Atbilde. Jānītis bija uzzīmējis lielāku kvadrātu nekā Pēterītis.

5. . Lattelekom Tālo Runu zemā nomainīja ne vairāk numurus, cik ir piecciparu "simetriskie" skaitļi, kam tieši trīs cipari ir dažādi.
Saskaitīsim, cik ir piecciparu "simetriskie" skaitļi, kam trīs cipari ir dažādi. Pirmais cipars nevar būt 0, tātad tas var būt 1, 2, 3,…, 9, pavisam 9 dažādi cipari. Otrais cipars nevar būt vienāds ar pirmo, bet var būt 0, tātad katram pirmajam ciparam otro var izvēlēties 9 veidos. Trešais cipars nevar būt vienāds ne ar pirmo, ne ar otro ciparu, tātad to var piemeklēt 8 veidos katriem pirmajiem diviem cipariem. Tā kā numuri ir simetriski, tad ceturtais un piektais cipars ir viennozīmīgi noteikts ar otro un pirmo ciparu. Atrodot, cik dažādos veidos var izvēlēties pirmos trīs ciparus, mēs uzzināsim, cik pavisam ir simetriski piecciparu skaitļi ar trīs dažādiem cipariem.
Pavisam ir 9×9×8=648 šādi skaitļi. (Pirmos divus ciparus var izvēlēties 9×9=81 veidos, un katrai pirmo divu ciparu kombinācijai trešo ciparu var piekārtot vēl 8 dažādos veidos, tātad pavisam pirmos trīs ciparus varam izvēlēties 81×8=648 veidos.)
Atbilde. Lattelekom Tālo Runu zemē nomainīja ne vairāk kā 648 numurus.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa