Uzdevumi

JMK 1996./97. m.g. 3. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. Aprēķināsim, kura daļa peļu no kaudzes aizmuka, visu kaudzi apzīmēsim ar 1:
Tātad uz ceļa palika 1-= no visas peļu kaudzes jeb viena pele. Visa kaudze tātad bija 6 reizes lielāka jeb kaudzē bija 1×6=6 peles.

Šo uzdevumu var risināt arī šādi.
Ar x apzīmēsim peļu skaitu kaudzē. Tad paslēpās x, kokā uzrāpās x, zemē ierakās x un uz ceļa palika

x-(x+x+x)=x-x=x peles.
x=1
x=1:=6
Atbilde. Kaudzē bija 6 peles.

2. Rūpīgi apskatot taisnstūri, pamanam, ka katrs no kauliņiem [66], [65], [40], [61], [31] un [41] var atrasties tikai vienā vietā (skat. 89.zīm.).
Tagad ir redzams, ka kauliņš [60] var būt tikai labajā augšējā stūrī, un līdz ar to mēs varam noteikt, kur atrodas kauliņi [22] un [20] (89.zīm. pārtrauktā līnija).

Ir absolūti skaidrs, ka kauliņš [00] var atrasties tikai vienā vietā (skat. 90.zīm.). (Ievietojot to citādi, mēs noteikti iegūsim vēl kādu kauliņu [00] (skat. 90.a) zīm.). Tagad, kad esam ielikuši kauliņu [00], varam ievietot kauliņus [30], [43], [63], [64], [33], [44], [62] un [42] (20.zīm. pārtrauktā līnija).

Kauliņu [50] tāpat kā kauliņu[54] var novietot tikai vienā vietā (skat. 91.zīm.), pateicoties tam, varam ievietot arī kauliņus [10], [21], [11] un [52] (91.zīm. pārtrauktā līnija).
Taisnstūra apakšējo labo stūri var aizpildīt 3 dažādos veidos kā parādīts 92.zīmējumā.
Tātad pavisam doto taisnstūri ar domino kauliņiem var noklāt 3 dažādos veidos.

3. Štepseļu ģimenes dzīvoklī ir 6 rozetes, izvietotas taisnā rindā, un 6 elektroierīces, kas visas ir jāsaslēdz šajās rozetēs. Tātad mums ir jāaprēķina, cik dažādos veidos var rindā izvietot 6 dažādus priekšmetus. Pirmajā rozetē var tikt ieslēgta viena no sešām ierīcēm. Otrajā rozetē var ieslēgt jebkuru no 5 atlikušajām ierīcēm (to, kas ieslēgta pirmajā rozetē, otrajā ieslēgt nevar). Tātad pirmajās divās rozetēs varam ieslēgt ierīces 6×5=30 veidos. Katram no šiem veidiem trešajā rozetē varam ieslēgt kādu no 4 atlikušajām ierīcēm (divas ierīces jau ieslēgtas pirmajā un otrajā rozetē). Līdzīgi varam izspriest, ka ceturtajā rozetē var ieslēgt jebkuru no 3 atlikušajām ierīcēm, piektajā rozetē jebkuru no 2 atlikušajām ierīcēm un sestajā rozetē atlikušo vienu ierīci. Tātad 6 ierīces 6 rozetēs varam saslēgt 6×5×4×3×2×1=6!=720 dažādos veidos. Tas nozīmē, ka Štepseļu ģimenei būs vajadzīgas 720 dienas (gandrīz 2 gadi), lai visas elektroierīces būtu saslēgtas visos iespējamos veidos.
Atbilde. 720 dienās Štepseļu ģimene saslēgs savas elektroierīces visos iespējamos veidos.

4. Apskatīsim 93.zīmējumu.

Rūķītis Strīpainā Zeķe apgalvo, ka viņš var jebkura piecstūra, tātad arī piecstūra KLMNO iekšpusē izvēlēties tādu punktu A, ka
ÐKAL=ÐLAM=ÐMAN=ÐNAO=ÐKAO=900.
Tātad Strīpainā Zeķe apgalvo, ka eksistē tāds punkts A, ka
ÐKAL+ÐLAM+ÐMAN+ÐNAO+ÐKAO=5×900=4500.
Bet piecu leņķu, kas veidojas kādu punktu piecstūra iekšpusē savienojot ar piecstūra virsotnēm, summa ir pilns leņķis, tātad tieši 3600 liels.
Tātad arī ÐKAL+ÐLAM+ÐMAN+ÐNAO+ÐKAO=3600. Bet 3600¹4500, tātad tāds punkts A piecstūra iekšpusē neeksistē un taisnība ir rūķītim Lielā Cepure.

5. Apzīmēsim Jāņa lauka platību ar x ha un ražību ar y cnt/ha. Izejot no uzdevumā dotā, sastādīsim sekojošu tabulu.

Tabulā redzams, ka xy=272×3=816, tad y=.
Andra lauku platība ir xy:0,8y=x:0,8=1,25x un visu lauku kopējā platība ir
x+0,5x+1,25x=2,75x=44,
tātad x=44:2,75=16 ha. Savukārt y=816:x=816:16=51 cnt/ha.
Andra lauku platība ir x=1,25×16=20 ha un ražība ir 0,8×51=40,8 cnt/ha.
Pēterim ir 0,5×16=8 ha liels lauks un ražība ir 272:8=34 cnt/ha.
Atbilde. Jānim bija 16 ha sējumu un ražība 51 cnt/ha;

Pēterim - 8 ha sējumu un ražība 34 cnt/ha;
Andrim - 20 ha sējumu un ražība 40,8 cnt/ha.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa