Uzdevumi

JMK 1996./97. m.g. 4. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. a) Mazināmā pēdējais cipars ir 4, jo 7+7=14. Tātad 1 desmitu "aizņemamies" no 7 desmitiem, tātad mazinātāja desmitu cipars ir 7-1-4=2. Starpības simtu cipars ir 8-3=5. Tā kā 5+4=9, bet mazināmajā atbilstošais cipars ir 0, tātad atņemot tūkstošus, vienu desmittūkstoti esam "aizņēmušies" no 0, jeb no 10 desmittūkstošiem; tātad mazināmajā paliek 5 simttūkstoši, 9 desmittūkstoši un 10+x tūkstoši (x - tūkstošu cipars mazināmajā). Mazinātājā ir 1 tūkstotis, tātad x=0. (Ja x³1, tad nebūtu "jāaizņemas" 1 no nākamās šķiras.) Tātad starpībā ir 10-1=9 tūkstoši. Mazināmā pirmais cipars var būt tikai 1, tātad mazinātāja pirmais cipars ir 15-7=8.
Atbilde. Jānītim mājasdarbā bija šāds piemērs:

b) Tā katrs starpreizinājums ir divciparu skaitlis, tad otra reizinātāja visi cipari var būt tikai viens; ja kaut viens no tiem būtu a³2, tad reizinot to ar pirmo reizinātāju x=6*³60 reizinājumā iegūtu skaitli a×x³2×60=120, tātad trīsciparu skaitlis. Visa reizinājuma pēdējais cipars ir vienāds ar pirmā starpreizinājuma pēdējo ciparu, tātad tas arī ir 6. Bet pirmais starpreizinājums ir 1×6*=*6, tātad pirmais reizinātājs ir 66. Tātad atliek sareizināt 66 ar 111 un mēs atjaunosim Jānīša mājasdarba otro piemēru.
Atbilde. Jānīša reizināšanas piemērs izskatījās šādi:

2. Zīmējumā ir 2 riņķa līnijas, kuras satur 6 aplīšus un vēl paliek vidējais aplītis. Tā kā uz katras riņķa līnijas esošo trīs skaitļu summa ir 12, tad varam aprēķināt, kāds skaitlis ir vidējā aplītī.
Visu skaitļu no 1 līdz 7 summa ir 1+2+3+4+5+6+7=28, uz abām riņķa līnijām esošo skaitļu summa ir 12+12=24, tātad vidējā aplītī ir skaitlis 28-24=4.
Ierakstām vidējā aplītī 4 un tad pārējos skaitļus ierakstām tā, lai izpildītos nosacījumi. Viens atrisinājums ir redzams 94. zīmējumā.

3. Uzdevuma autorēm ir zināmi 83 skaitļi, kurus var izteikt, izmantojot piecus pieciniekus, aritmētiskās darbību zīmes un iekavas. Mazākais no tiem, protams, ir skaitlis 1=55:5-5-5, bet lielākais - 55555. Vairāk par 55555 iegūt nevar, jo, lai iegūtu pēc iespējas lielāku skaitli, ir jāsareizina pēc iespējas lielāki skaitļi, kas sastādīti, izmantojot dotos pieciniekus.
555×5×5=13875,
55×55×5=15125,
5555×5=27775,
555×55=30525.

4. Kā trijstūri var sadalīt 2, 3, 4 un 5 trijstūros ir parādīts 95. zīmējumā.

Pieņemsim, ka trijstūris ir sadalīts n trijstūros. Tā kā trijstūri var sadalīt 2 trijstūros, tad vienu no n mazākajiem trijstūriem sadalot 2 trijstūros, sākotnējais trijstūris tiks sadalīts n+2-1=n+1 trijstūros. (Ir jāatņem tas trijstūris, kuru sadalām 2 trijstūros.) Tātad, ja trijstūri var sadalīt n trijstūros, tad to var sadalīt arī n+1 trijstūrī.
95. zīmējumā redzams, ka trijstūri var sadalīt 5 trijstūros, tātad to var sadalīt arī 6 trijstūros; ja trijstūri var sadalīt 6 trijstūros, tātad var sadalīt arī 7 trijstūros; tā kā var sadalīt 7 trijstūros, tad var arī 8, to savukārt var sadalīt 9 trijstūros un tātad trijstūri var sadalīt arī 10 trijstūros. Pie tam tas ir spēkā jebkuram trijstūrim.

5. Ieviesīsim jēdzienu pārtikas vienība - pārtikas daudzums, kas nepieciešams vienam cilvēkam vienā dienā. Tā kā tūristu grupā bija 9 cilvēki un līdzpaņemtās pārtikas viņiem pietiktu 5 dienām, tad viņu proviants sastāvēja no 9×5=45 pārtikas vienībām.
Ar x apzīmēsim cilvēku skaitu otrajā grupā. Tātad kopā bija 9+x tūristi, kuriem ar 45 pārtikas vienībām pietika 3 dienām. Tas nozīmē, ka
(9+x)×3=45
9+x=45:3=15
x=15-9=6
Atbilde. Otrajā grupā bija 6 cilvēki.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa