bgproperties="fixed">

Uzdevumi

JMK 1997./98. m.g. 1. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. Lai atrisinātu šāda veida uzdevumus, ir jāņem dotais skaitlis un jāizpilda atļautās darbības, līdz iegūstam prasītās atbildes. Ja gadījumā tomēr neizdodas iegūt prasīto, tad, iespējams, šim uzdevumam nav atrisinājuma un jāmēģina pierādīt, kāpēc. Dotajā uzdevumā abas atbildes iespējams iegūt sekojošā veidā ( nozīmē, ka tiek pildīta 1. veida darbība):

199779923996199899910005002501255222611633621811829120.

2. Tā kā katrā daļā ir jābūt tieši vienam telefonam, karodziņam un zvaniņam, tad dalījuma līnijas noteikti iet pa sekojošām rūtiņu malām (1. zīm.).

Tālākos griezumus veicam simetriski attiecībā pret kvadrāta centru. Iegūtais rezultāts ir parādīts 2. zīmējumā.

3. Šī uzdevuma risināšanā izmantosim Dirihlē principu: "Ja vairāk nekā n elementi jāsadala n grupās, tad noteikti būs tāda grupa, kurā atradīsies vismaz 2 elementi" jeb citiem vārdiem: "Ja vairāk nekā n truši jāizvieto n būros, tad vismaz vienā būrī nonāks vairāk nekā viens (tātad vismaz 2) truši". Grūtākais šāda veida uzdevumos ir veiksmīgi izvēlēties elementu grupas jeb "būrus".

Šajā uzdevumā par "būriem" izvēlēsimies grāmatas lappuses. Tā kā grāmatā pavisam ir 96 lappuses, tad šoreiz mums ir 96 "būri". Par "trušiem" sauksim skolēnu izlasītās lappuses. Šoreiz sanāk, ka "truši" un "būri" ir vieni un tie paši elementi - lappuses, tikai "būru" gadījumā katra lappuse ir tieši viens "būris", bet "trušu" gadījumā katra lappuse varētu tikt ieskaitīta vairākas reizes, ja to ir izlasījuši vairāki skolēni, vai arī nevienu reizi, ja to nav lasījis neviens skolēns. Uzdevumā nav rādīts, tieši cik lappuses kopā skolēni ir izlasījuši, tātad kopējo "trušu" skaitu mēs nezinām. Lai varētu pierādīt uzdevumā prasīto ar Dirihlē principu, mums ir tikai jāpierāda, ka "trušu" noteikti ir vairāk nekā "būru". Tādā gadījumā tiešām būs tā, ka vismaz vienā "būrī" būs vairāk nekā 1 "trusis", t.i., vismaz vienu lappusi no grāmatas būs izlasījis vairāk nekā viens skolēns.
Saskaitīsim vismazāk iespējamo "trušu" skaitu. Tā kā ir dots, ka katrs skolēns izlasīja dažādu lappušu skaitu, tad mazākais iespējamais kopā izlasīto lappušu skaits būs tad, ja viens skolēns nebūs izlasījis ne vienu lappusi (jeb izlasījis 0 lappuses), otrs - izlasījis 1 lappusi, ..., 14-tais skolēns - izlasījis 13 lappuses un 15-tais skolēns būs izlasījis 14 lappuses. Tad kopā būs izlasītas 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14=105 lappuses jeb tas nozīmē, ka pavisam mūsu gadījumā ir 105 "truši". Tā kā 105>96, t.i., "trušu" skaits tiešām lielāks nekā "būru" skaits, tad uzdevumā izteiktais apgalvojums ir pierādīts.

4. Modelis ir reāla objekta (mājas, mašīnas utml.) samazināts atveidojums. Tātad visi modeļa izmēri ir proporcionāli īstajiem izmēriem, t.i., visi mājas izmēri ir samazināti vienādu skaitu reižu. Mums ir zināms, ka mājas patiesais augstums ir 10 m, bet modeļa augstums ir 5 cm. Tātad modeļa visi izmēri ir 10 m:5 cm=1000 cm:5 cm=200 reizes mazāki nekā mājas izmēri (jeb mērogs ir 1:200).

Mēģināsim noskaidrot, cik sver māja, ja modelis sver Smod=100 g. To darīsim, pakāpeniski "izaudzējot" modeli līdz mājas izmēriem. Ja mēs tikai modeļa augstumu palielināsim 200 reizes, tad iegūsim objektu, kura augstums būs vienāds ar mājas izmēriem, bet pārējie izmēri paliks tādi paši. (Iegūto objektu varam arī iztēloties kā stabiņu, kurš sastāv no 200 slānīšiem ar vienādu svaru (skat. 3. zīm.), vai arī ka modeļa katrs "punkts" ir atlikts uz augšu vēl 199 reizes (kopā 200)- izstiepts 200 reizes.) Iegūtā objekta svars būs 200 reizes lielāks nekā modeļa svars, tātad tas būs S1=Smod×200=100 g×200=20000 g=20 kg.

Tagad šī objekta platumu palielināsim 200 reizes, tātad iegūsim objektu, kura augstums un platums ir vienāds ar mājas augstumu un platumu, bet garums ir vienāds ar modeļa garumu. Šī objekta svars būs S2=S1×200=20 kg×200=4000 kg=4 t.
Beidzot arī garumu tādā pašā veidā palielināsim 200 reizes, tad iegūsim objektu, kura visi izmēri ir vienādi ar mājas izmēriem, tātad tā svars būs vienāds ar mājas svaru Sm=S2×200=4 t×200=800 t. Tātad mājas svars ir 800 tonnas.
No uzdevuma risinājuma varam secināt, ka, ja doti divi telpiski ķermeņi, no kuriem viena ķermeņa visi izmēri ir k reizes lielāki nekā otram ķermenim, tad tilpums (un svars, ja tie izgatavoti no viena materiāla) pirmajam ķermenim ir k×k×k=k3 reizes lielāks nekā otram ķermenim. (Mūsu uzdevumā svars mājai bija 2003=8000000 reizes lielāks nekā modelim.)

5. Lai Čips atrastu saindēto cepumu, pietiek ar divām svēršanām. Tad ir jārīkojas sekojoši:

1) sadala visus 9 cepumus 3 kaudzītes pa 3 cepumiem katrā un divas kaudzītes salīdzina uz svariem:
a) ja svari ir līdzsvarā, tad saindētais cepums ir trešajā kaudzītē,
b) ja viena kaudzīte ir smagāka, tad sliktais cepums ir tajā;
Acīmredzami, viens no šiem gadījumiem noteikti iestāsies, jo svari var vai nu būt līdzsvarā, vai nebūt; citu iespēju atsvaru svariem nav.
2) ņem kaudzīti, kurā ir sliktais cepums, un uz abiem svaru kausiem uzliek pa vienam cepumam:
a) ja abi cepumi ir vienādi, tad pāri palikušais ir saindēts,
b) ja kāds cepums ir smagāks par otru, tad tas ir meklētais.
Tātad ar 2 svēršanām Čips noteikti var atrast saindēto cepumu.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa