bgproperties="fixed">

Uzdevumi

Jauno matemātiķu konkursa (JMK) 1997./98. m.g. 3. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. Sadalīsim doto skaitli 1020 pirmreizinātājos: 1020=2×2×3×5×17. Kā redzam, tas sastāv no 5 reizinātājiem, bet, diemžēl, divi no tiem ir vienādi (2 un 2) un tāds sadalījums reizinātājos neatbilst uzdevuma prasībām. Tā kā pirmskaitļus sīkāk reizinātājos sadalīt nevar, tad lai iegūtu 1020 sadalījumu piecos dažādos naturālos skaitļos, tad jāatrod vēl kāds naturāls skaitlis, kuru var piereizināt atrastajam reizinājumam tā, lai rezultāts nemainās. Tāds skaitlis ir 1 - tas arī ir naturāls skaitlis, pie tam piereizinot 1, rezultāts nemainās. Tagad iegūstam reizinājumu, kas sastāv no 6 reizinātājiem: 1020=1×2×2×3×5×17.

Tā kā divi reizinātāji ir skaitlis 2, tad viens no tiem ir jāpiereizina kādam no pārējiem skaitļiem. Tā kā sareizinot 2 ar 1, iegūsim to pašu sadalījumu pirmreizinātājos, tad šis gadījums "atkrīt". Atliek vēl 4 iespējas:
1) 2 sareizina ar 2, iegūst 1020=1×4×3×5×17;
2) 2 sareizina ar 3, iegūst 1020=1×2×6×5×17;
3) 2 sareizina ar 5, iegūst 1020=1×2×3×10×17 un
4) 2 sareizina ar 17, iegūst 1020=1×2×3×5×34.
Citu iespēju sadalīt skaitli 1020 piecos dažādos reizinātājos nav.

2. Lai izveidotos divi kvadrāti, pietiek pārvietot 4 sērkociņus (18 a) zīm.), trīs kvadrāti ir redzami jau dotajā zīmējumā, tāpēc nav jāpārvieto neviens sērkociņš 18 b) zīm.), 4 kvadrātus varam iegūt, pārvietojot 2 sērkociņus (18 c) zīm.), 5 kvadrātus iegūsim, pārliekot 4 sērkociņus (18 d) zīm.).

3. Apzīmēsim trauciņus ar burtiem a, b, c un d tā, kā tas ir parādīts 19. zīmējumā.

Iebērsim 3 g no trauciņa a trauciņā d, un visu atlikušo daļu, tas ir, 8 g nātrija karbonāta, iebērsim trauciņā c. Tagad trauciņš a ir tukšs.

Tālāk pārbērsim 3 g nātrija karbonāta no trauciņa d trauciņā a (trauciņš d paliek tukšs), no trauciņa b iebērsim 1 g nātrija karbonāta trauciņā c, tagad trauciņš c ir pilns, tajā ir 9 g, bet trauciņā b ir 10 g nātrija karbonāta. Ieberot 3 g no trauciņa b trauciņā d, panāksim to, ka trauciņā b būs tieši 7 g dotās vielas.

4. Ja namdaris sadalīs grīdu rūtiņās ar izmēriem 1m1m un iekrāsos rūtiņas grīdu kā šaha galdiņu, tad kļūs redzams, ka "T" veida dēlītis noklāj nepāra skaitu balto rūtiņu, bet "I" veida dēlītis noklāj pāra skaitu balto rūtiņu (skat. 20. zīm.).

a) gadījumā "T" veida dēlīši ir nepāra skaitā, tātad, ja namdaris varētu izdarīt prasīto, tad būtu noklāts nepāra skaits balto rūtiņu, bet to ir (610)/2=30 rūtiņas, tātad pāra skaits, rodas pretruna, no šejienes seko, ka a) gadījums nav iespējams.
Arī b) gadījums nav iespējams, jo "T" veida dēlīšiem ir jāatrodas vienkopus, citādi namdaris nevarēs izvietot "I" veida dēlīšus. Taču arī tad, ja "T" veida dēlīši ir viens otram blakus, tas ir, veido kvadrātu ar izmēriem 4m4m, ar atlikušajiem dēlīšiem nav iespējams izklāt grīdu.

5. Tā kā Ziemassvētku vecītis nezina, cik īsti skolēni mācās meža skolā, bet zina tikai to, ka viņi nav vairāk par 31, tad Vecītim jābūt gatavam uz katru skolēnu skaitu no 1 līdz 31. Lai izpildītu Ziemassvētku vecīša uzdevumu, mums jāatrod pieci tādi skaitļi, kurus izvēloties pa vienam vai vairākus kombinējot summā, varam iegūt jebkuru skaitli no 1 līdz 31.

Acīmredzot, vienā maisiņā jāieliek tikai 1 dāvana - gadījumā, ja skolā ir tikai 1 skolēns.
Lai būtu gatavi apsveikt 2 skolēnus, otrajā maisiņā jāieliek 2 dāvanas.
Pirmajā un otrajā maisiņā kopā ir 1+2=3 dāvanas.
Toties lai varētu apsveikt 4 bērnus, jāsagatavo trešais maiss ar 4 dāvanām.
Ar šiem trim maisiņiem esam gatavi arī 5 bērnu apsveikšanai (5=4+1), 6 bērnu apsveikšanai (6=4+2) un 7 bērnu apsveikšanai (7=4+2+1).
Tātad ceturtajā maisā jāliek 8 dāvanas.
Tā kā 9=8+1; 10=8+2; 11=8+2+1; 12=8+4; 13=8+4+1; 14=8+4+2; 15=8+4+2+1, tad esam gatavi arī šādam skolēnu skaitam. Savukārt 16 skolēnus ar šajos četros maisiņos esošajām dāvanām apsveikt nevaram, tātad piektajā maisā ir jāieliek 16 dāvaniņas.
Ar šiem pieciem maisiņiem mēs esam gatavi arī visiem pārējiem gadījumiem, ja skolēnu skaits ir no 17 līdz 31: 17=16+1; 18=16+2; 19=16+2+1; 20=16+4; 21=16+4+1; 22=16+4+2; 23=16+4+2+1; 24=16+8; 25=16+8+1; 26=16+8+2; 27=16+8+2+1; 28=16+8+4; 29=16+8+4+1; 30=16+8+4+2; 31=16+8+4+2+1.
Tātad Ziemassvētku vecītim dāvaniņas jāsaliek piecos maisos, pirmajā liekot 1 dāvanu, otrajā maisā - 2 dāvanas, trešajā maisā - 4 dāvanas; ceturtajā maisā - 8 dāvanas un piektajā maisā jāliek 16 dāvanas.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa