Uzdevumi

Jauno matemātiķu konkursa (JMK) 1997./98. m.g. 4. kārtas uzdevumu atrisinājumi

1. 1) Viegli pamanīt, ka 99=100-1, tad

69×99=69×(100-1).
Izmantojot reizināšanas distributīvo īpašību, iegūstam, ka

69×(100-1)=69×100-69×1.


Sareizināt kādu veselu skaitli ar 100, nozīmē pierakstīt tam labajā pusē divas nulles, tātad meklētais reizinājums ir

69×100-69×1=6900-69=6831 jeb 69×99=6831.


2) Līdzīgā veidā iegūstam arī otru reizinājumu. Šajā gadījumā ievērojam, ka 101=100+1, tātad

47×101=47×(100+1)=47×100+47×1=4700+47=4747

2. Uzdevuma risinājumā uzskatīsim Jānīša mājas, skolu un baseinu attiecīgi par punktiem M, S un B. Tātad mūsu uzdevums ir noskaidrot visus iespējamos attālumus starp šiem punktiem un attēlot tos zīmējumā. Plaknē trīs punkti var atrasties uz vienas taisnes, bet var arī neatrasties uz vienas taisnes.
Ja trīs punkti M, S un B atrodas uz vienas taisnes, tad vispārīgā gadījumā tie var būt izvietojušies 6 veidos (skat. 21. zīm.).


Taču ņemot vērā dotos attālumus, ka MS=5 km un SB=3 km, redzam, ka 5. un 6. gadījums neatbilst uzdevuma nosacījumiem, jo tādā gadījumā SB=BM+SM jeb 3=BM+5; tātad BM=-2, bet attālums nevar būt negatīvs skaitlis. Tāpat varam ievērot, ka 1. un 2. gadījums attālumu ziņā ir vienādi (viens izvietojums ir otra izvietojuma spoguļattēls). Tādu pašu īpašību varam saskatīt arī 3. un 4. gadījumā.


Tātad, ja mājas, skola un baseins ir izvietoti uz vienas taisnes, tad Jānītis katru dienu veic vai nu 5+3+8=16 km (1. un 2. gadījums, skat. 22 a) zīm.) vai arī 5+3+2=10 km (3. un 4. gadījums, skat. 22 b) zīm.).
Ja trīs punkti neatrodas uz vienas taisnes, tad tie ir kaut kāda trijstūra virsotnes un attālumi starp šiem punktiem ir trijstūra malas. Katrā trijstūrī starp tā malām pastāv trijstūra nevienādības: katras malas garums ir mazāks nekā abu pārējo malu garumu summa un lielāks nekā abu pārējo malu garumu starpības absolūtā vērtība (skat. 23. zīm.)
Tātad BM<MS+SB jeb BM<5 km+3 km=8 km un BM>MS-SB jeb BM>5 km-3 km=2 km. Tas nozīmē, ka 2 km<BM<8 km, un viss noietais ceļš BM+MS+SB=BM+5 km+3 km=BM+8 km. Ņemot vērā arī gadījumus, kad BM=2 km un BM=8 km, redzam, ka BM garums var būt jebkurš skaitlis no intervāla [2 km; 8 km]. Tātad viss noietais ceļš ir 2 km+8 km £ MS+SB+BM £ 8 km+8 km jeb 10 km £ MS+SB+BM £ 16 km.
Tātad Jānīša veiktais ceļš nav īsāks nekā 10 km un nav garāks par 16 km.

3. Paskatoties uzmanīgāk uz doto dalīšanas piemēru, redzam, ka dalītājs (trīsciparu skaitlis) reiz 8 ir trīsciparu skaitlis, bet abi pārējie starpreizinājumi ir četrciparu skaitļi. Tātad rezultāta abi nezināmie cipari ir lielāki nekā 8, bet tas nozīmē, ka tie var būt tikai 9, t.i., dotā piemēra rezultāts ir 989.
Lai noskaidrotu dalītāju, jāatrod tāds trīsciparu skaitlis, kuru reizinot ar 8 iegūst trīsciparu skaitli, bet reizinot ar 9 - četrciparu skaitli. Tāds skaitlis ir 112: 8×112=896. Tā kā mums ir zināms gan dalītājs, gan dalījums, mēs varam uzzināt arī dalāmo, t.i., 112×989=110768. Tagad varam atjaunot arī visus pārējos starprezultātus:

4. Uzskatam, ka žāvējot ābolus, no tiem iztvaiko tikai ūdens un pārējo vielu ("sausnas") masa nemainās. Svaigos ābolos ir 80% ūdens, tātad "sausnas" tajos ir 100%-80%=20% jeb tas ir 20% no 1 kg=0,2×1 kg=0,2 kg.
Žāvētos ābolos "sausna" ir 100%-60%=40% no kopējās masas. Tā kā "sausnas" daudzums kilogramos nemainījās, tad 40% no žāvētu ābolu kopējās masas ir 0,2 kg.
0,2 kg atbilst 40%
x kg atbilst 100%
x=(0,2×100%):40%=0,5 kg
Tātad no 1 kg svaigu ābolu var iegūt 0,5 kg žāvētu ābolu.

5. Uzdevumu risināsim, pieņemot pretējo un pierādot, ka šis pieņēmums ir aplams.
Pieņemsim, ka visu rūķīšu, kas dzīvo Ramtam mežā, garums ir mazāks nekā 15 pēdas. Tādā gadījumā visu rūķīšu kopējais garums ir mazāks nekā 15×11=165 pēdas, bet ir dots, ka visu rūķīšu kopējais garums ir tieši 165 pēdas, kas nav mazāks par 165 pēdām.
Esam ieguvuši pretrunu (165<165, kas ir aplami). Bet tas nozīmē, ka mūsu pieņēmums ir bijis aplams (jo tieši no tā izriet, ka kopējais rūķīšu garums ir mazāks nekā 165 pēdas), tātad Ramtam mežā dzīvo vismaz viens rūķītis, kura garums nav mazāks par 15 pēdām, k.b.j.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa