bgproperties="fixed">

Uzdevumi

Jauno matemātiķu konkursa (JMK) 1998./99. m.g. 2. kārtas uzdevumu atrisinājumi.

1. Veselos skaitļos uzdevumam atrisinājuma nav, jo, lai divu skaitļu starpība būtu nepāra skaitlis, šo skaitļu paritātēm ir jābūt atšķirīgām, proti, viens skaitlis ir pāra, bet otrs - nepāra, bet veselu skaitļu reizinājumā ir vismaz viens pāra skaitlis, tad arī reizinājums ir pāra skaitlis, bet 567 ir nepāra skaitlis.

Taču uzdevumā nebija norādīts, ka šiem skaitļiem jābūt veseliem, tāpēc apskatīsim arī uzdevuma risinājumu reālos skaitļos.
Ja vienu skaitli apzīmēsim ar x, tad otrs ir x+161. Tātad jāizpildās
x(x+161)=567
x2+161x-567=0
Šī kvadrātvienādojuma diskriminants D=1612-4×(-567)=1612+4×567>0, tātad vienādojumam ir divas saknes un uzdevuma nosacījumiem atbilst divi iracionālu skaitļu pāri.

2. Jā, var (skat. 29 a), b) zīm.).

3. Sauksim taisnību runājošos rūķīšus par t rūķīšiem un meļus - par m rūķīšiem. Apskatīsim 2 gadījumus.

1) Ir vismaz viens rūķītis, kas runā taisnību. Tā kā taisnību runājošie rūķīši nekad nemelo, tad katram t rūķītim blakus noteikti stāv viens m rūķītis un viens t rūķītis. Tātad vienā apļa posmā rūķīšu izvietojums ir sekojošs: m1 t t m2.
Tā kā m1 rūķītim vienā pusē jau stāv t rūķītis, tad otrā pusē jābūt arī t rūķītim (savādāk m1 rūķītis nebūs melojis, ka viņam blakus stāv tieši viens melis). Līdzīgā veidā spriežot, iegūstam, ka rūķīšu izvietojums pa apli ir tāds kā parādīts 30. zīmējumā. Redzams, ka melis ir katrs trešais rūķītis, tātad kopā ir 99:3=33 meļi.

2) Visi rūķīši ir meļi. Arī šis gadījums atbilst uzdevuma nosacījumiem, jo katram rūķītim abās pusēs stāv pa melim, tātad neviens no rūķīšiem nevar būt teicis taisnību, apgalvojot, ka tieši viens no viņam blakusesošajiem rūķīšiem ir melis, tātad meļi ir 99 rūķīši.

4. Derībās uzvarēs ķēniņš Dullums. 31. zīmējumā parādīts, kā to var izdarīt.

5. Uzdevumā dotos datus ierakstīsim 32. zīmējumā redzamajos apļos sekojošā veidā:

1. apgabalā - rūķīšu skaitu, kam ir tikai sarkanā cepurītes
2. - kam ir tikai zaļā cepurīte,
3. - kam ir tikai dzeltenā cepurīte,
4. - kam ir tikai sarkanā un dzeltenā cepurītes,
5. - kam ir tikai sarkanā un zaļā cepurītes,
6. - kam ir tikai dzeltenā un zaļā cepurītes,
7. - kam ir visas trīs cepurītes.

Sākumā ir dots, ka s aplī (apgabalos 1, 5, 7 un 4 kopā) ir jāieraksta skaitļus, kuru summa ir 666; tāpat arī z un dz apļos ir 666 katrā. Vēl sākumā ir doti rāmīšos ierakstītie skaitļi. Viegli varam izskaitļot atbilstošo skaitu pārējos apgabalos (slīpiem cipariem). Tātad pavisam mežā dzīvo 384+176+10+96+140+340+220=1366 rūķīši.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa