bgproperties="fixed">

Uzdevumi

Jauno matemātiķu konkursa (JMK) 1998./99. m.g. 4. kārtas uzdevumu atrisinājumi.

1. No vienādības IM:I=DM seko, ka D=1, savukārt, no vienādības IM+I=II iegūstam, ka M=0. Tātad vienādību II×A=DDM varam pārrakstīt šādi: II×A=110.

A ir viencipara skaitlis, tātad mūsu nākošais uzdevums ir noskaidrot, cik dažādos veidos var sadalīt skaitli 110 divos reizinātājos tā, lai viens no tiem ir viencipara skaitlis, bet otrs - divciparu. Ir tikai divas iespējas
1) 110=5×22, tādā gadījumā A=5, I=2. Tas nozīmē, ka ir jābūt spēkā sekojošai vienādībai BE:5=C5, C nevar būt 1 vai 0, taču, ja liksim C vietā mazāko no atlikušajiem cipariem, tas ir, 2, tad iegūsim, ka divciparu skaitlis ir vienāds ar trīsciparu skaitli, bet tā nevar būt.
2) 110=2×55, tātad A=2, I=5. Tas nozīmē, ka BE:2=C2, E=4. Aplūkosim vienādību 1C×C=CL, no tās seko, ka L=C2, bet tā kā L ir viencipara skaitlis, tad C var būt tikai 2 vai 3, skaitlis 2 jau ir "aizņemts", tātad C=3 un L=9. No vienādības B4:2=32 varam uzzināt B vērtību, proti, B4=32×2=64, tātad B=6. No pēdējās vienādības iegūstam, ka R=6+1=7, bet K=8.
Atbilde. A=2, B=6, C=3, D=1, E=4, I=5, L=9, M=0.
Šifrētais datums ir nozīmīgs ar to, ka šajā dienā bija pagājušā gada Lieldienas.

2. Skaidrs, ka katra no četrām daļām sastāv no četrām rūtiņām. No četrām rūtiņām var izveidot 5 dažādas figūriņas (skat. 33. zīm.).

Ja mēģināsim sadalīt kvadrātu četrās "e" tipa figūriņās, tad mums tas neizdosies, jo, lai arī kā mēs mēģinātu ievietot šo figūriņu kvadrāta stūrī, viena rūtiņa paliek atšķelta un līdz ar to nevar ietilpt kādā no pārējām trim daļām. Tātad kvadrātu var sagriezt četru dažādu tipu vienādās figūrās, kā to izdarīt skat. 34. zīmējumu.

3. Tā kā ziepju gabaliņam ir trīs izmēri: garums, platums un augstums, tad pēc septiņām mazgāšanas reizēm tas samazinājās 2×2×2=8 reizes. Ar pāri palikušo daļu notika tas pats - visi tās izmēri samazinājās divas reizes, tātad pēc nākošajām septiņām mazgāšanas reizēm pāri atkal palika daļa, no tā, kas bija pirms pēdējām 7 mazgāšanas reizēm, tātad, kad drēbju mazgāšana tika veiksmīgi pabeigta, ziepju gabaliņš samazinājās 8×8=64 reizes.

4. Vārdu "MADAM" šajā zīmējumā var izlasīt 80 veidos.

Jāievēro, ka vārds var sākties un beigties ar vienu un to pašu M burtu vai arī ar dažādiem burtiem. Sākot lasīt ar vienu "M" burtu, 20 dažādos veidos var izlasīt vārdu "MADAM" (skat. 35. zīmējumu); zīmējumā pavisam ir 4 "M" burti, tātad pavisam kopā vārdu "MADAM" var izlasīt 4×20=80 veidos.

5. Apzīmēsim vectētiņa vecumu šobrīd ar x. Tad vecmāmiņai šobrīd ir x-33 gadi. Tad, kad vecmāmiņai būs tik pat gadu, cik šobrīd ir vectētiņam, tad skaidrs, ka vecmāmiņai būs x gadi un 3 reizes mazāk ir x:3. No vectētiņa stāstītā iegūstam šādu vienādojumu: x-33=2×x/3

Atrisinot šo vienādojumu, iegūstam x=99. Tātad vectētiņš ir 99 gadus vecs, bet vecmāmiņa - 66 gadus veca.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa