bgproperties="fixed">

Uzdevumi

Jauno matemātiķu konkursa (JMK) 1998./99. m.g. 5. kārtas uzdevumu atrisinājumi.

1. No tā, ka starpdalījumi ir tikai 3, bet dalījuma ciparu skaits ir 5, varam secināt, ka dalījuma otrais un ceturtais cipars ir 0. Savukārt no tā, ka pirmais un trešais starpdalījumi ir trīsciparu skaitļi, bet otrais ir tikai divciparu skaitlis, seko, ka dalījuma pirmais un pēdējais cipari ir 9. Viegli saprast, ka dalāmā pirmais cipars var būt tikai 1, jo pretējā gadījumā otrais starpdalījums nebūs divciparu skaitlis, bet otrais cipars var būt tikai 0, 1 vai 2, jo 8×13=104, tātad trīsciparu skaitlis. Nav grūti pārliecināties, ka ne 0, ne 1, nevar būt dalītāja pēdējais cipars, jo 9×10=90 un 9×11=99, neviens no šiem reizinājumiem nav trīsciparu skaitlis. Tātad mēs esam ieguvuši, ka dalītājs ir 12, dalījums ir 90809, bet dalāmais 90809×12=1089709.

Atbilde. Dotais dalīšanas piemērs bija sekojošs:

2. Uzdevuma risināšanā tiek izmantots Dirihlē princips.

Pavisam ir 80 veidu grāmatas (atkarībā no lappušu skaita) - tādas, kurās ir 1 lpp., 2 lpp., ..., 79 lpp., 80 lpp.. Pieņemsim, ka bibliotēkā nav vairāk nekā 12 grāmatu ar vienādu lappušu skaitu. Tad bibliotēkā ir ne vairāk kā 12×80=960 grāmatas. Taču tā ir pretruna ar uzdevumā doto (1000>960). Tātad mūsu pieņēmums ir aplams un bibliotēkā ir 13 grāmatas ar vienādu lappušu skaitu.

3. Vinnijs Pūks un Sivēntiņš kopā apēda 70-45=25 banānus. Tā kā katrs (arī Sivēntiņš) apēda vismaz vienu banānu, tad Vinnijs Pūks apēda ne vairāk kā 24 banānus.

Trusītis un Pūce kopā apēda 45 banānus, tas nozīmē, ka viens no viņiem apēda vismaz 23 banānus (var pārliecināties, apskatot visas iespējas). Tā kā Pūks apēda visvairāk banānus, tad Pūks apēda vismaz 24 banānus. Ņemot vērā arī iepriekš gūtos secinājumus, iegūstam, ka Pūks apēda tieši 24 banānus, no kā seko, ka Sivēntiņš apēda tieši vienu banānu.

4. Izkrāsosim kvadrātu kā parādīts 36. zīmējumā. Ar slīpo gājienu var aiziet no baltas rūtiņas uz melnu vai otrādi. Apvienosim rūtiņas pāros tā, ka vienā pārī ir rūtiņas, kuras savieno slīpais karaļa gājiens. Katra rūtiņa, izņemot vienu, nonāk vienā pārī. Tātad balto un melno rūtiņu skaitam jāatšķiras par 1, bet tas atšķiras par 7. Pretruna, tātad šāds maršruts nav iespējams.

5. Uzdevums kļūst viegli atrisināms, ja katru no sešiem dotajiem trijstūriem sadala 4 vienādos vienādmalu trijstūros. Tas nozīmē, ka mēs iegūstam 4×6=24 mazos trijstūrīšus, un katrai no četrām figūrām, kas ir jāiegūst, ir jāsastāv no 6 mazajiem trijstūrīšiem. Kā ir jāiet dalījuma līnijām parādīts 37. zīmējumā.

Arhīvs

JMK sākumlapa

NMS sākumlapa