nms@lu.lv
67033738
Rīga, Zeļļu iela 8, Namiņš

Kontaktinformācija
Par mums


A. Liepas Neklātienes matemātikas skola (NMS) ir Latvijas Universitātes Fizikas un matemātikas fakultātes struktūrvienība akadēmiskā un zinātniskā darba veikšanai. Tās statuss LU hierarhijā līdzvērtīgs nodaļas (matemātikas, fizikas un optometrijas un redzes zinātnes nodaļas) statusam.
 

Baltijas Ceļš 2000
Oslo, 2000. gada 4. novembris

Latviešu versija
Risināšanas laiks: 4,5 stundas

1. uzdevums

Punkts K atrodas trijstūra ABC iekšpusē. M un N ir tādi punkti, ka M un K atrodas taisnes AB pretējās pusēs, un N un K atrodas taisnes BC pretējās pusēs. Pieņemsim, ka MAB=MBA=NBC=NCB=KAC=KCA. Pierādīt, ka MBNK ir paralelograms.

2. uzdevums

Dots vienādsānu trijstūris ABC, kurā BAC = 90°. M ir AB viduspunkts. Taisne, kas iet caur A un ir perpendikulāra CM, krusto malu BC punktā P. Pierādīt, ka

AMC = BMP.

3. uzdevums

Dots trijstūris ABC, kurā BAC = 90° un AB ¹ AC. Punkti D, E, F ir izvietoti attiecīgi uz malām BC, CA, AB tā, ka AFDE ir kvadrāts. Pierādīt, ka taisne BC, taisne FE un taisne, kas pieskaras punktā A trijstūra ABC apvilktajai riņķa līnijai, krustojas vienā punktā.

4. uzdevums

Dots trijstūris ABC, kurā BAC = 120°. Punkti K un L atrodas attiecīgi uz malām AB un AC. BKP un CLQ ir vienādmalu trijstūri, kas konstruēti ārpus trijstūra ABC. Pierādīt, ka PQ ³ (AB + AC) .

5. uzdevums

ABC ir tāds trijstūris, ka

Aprēķināt attiecību BAC : ACB.

6. uzdevums

Fredekam pieder privāta viesnīca. Viņš apgalvo, ka, lai kādi n ³ 3 viesi apmeklētu viesnīcu, starp tiem var izvēlēties divus tādus, kuriem starp pārējiem viesiem ir vienāds skaits paziņu un kuriem starp pārējiem viesiem ir vai nu kopīgs paziņa, vai arī kopīgs nepazīstamais. Kādām n vērtībām Fredekam ir taisnība?

(Ja viesis A pazīst B, tad arī B pazīst A.)

7. uzdevums

Slēdži ir izvietoti tabulas 40 x 50 veidā. Katram slēdzim ir divi stāvokli: "ieslēgts" un "izslēgts". Pārslēdzot slēdzi, tā stāvoklis un jebkura tajā pašā rindā vai tajā pašā kolonnā esoša slēdža stāvoklis nomainās uz pretējo. Pierādīt, ka slēdžu tabulu ar secīgām slēdžu pārslēgšanām var pārveidot no stāvokļa, kurā visi slēdži ir izslēgti, uz stāvokli, kurā visi slēdži ir ieslēgti, un noskaidrot mazāko pārslēgšanu skaitu, ar kuru to var izdarīt.

8. uzdevums

Četrpadsmit draugi sarīkoja viesības. Viens no viņiem, Fredeks, gribēja aiziet laikus gulēt. Viņš atvadījās no 10 draugiem, aizmirsa par pārējiem 3, un nolikās gulēt. Pēc kāda laika viņš atgriezās viesībās, atvadījās no 10 draugiem (ne obligāti tiem pašiem, no kuriem iepriekš), un aizgāja gulēt. Vēlāk Fredeks vēl vairākkārt atgriezās, katru reizi atvadījās tieši no 10 draugiem, un aizgāja atpakaļ gulēt. Pēc tam, kad viņš bija atvadījies no katra no saviem draugiem vismaz vienreiz, viņš vairs neatgriezās. Nākamajā rītā Fredeks saprata, ka viņš bija atvadījies no katra no trīspadsmit draugiem atšķirīgu skaitu reižu! Kāds ir mazākais iespējamais skaits reižu, kuras Fredeks atgriezās viesībās?

9. uzdevums

Pa šaha galdiņu ar izmēriem 2k x 2k, kas sastāv no vienības kvadrātiņiem, lēkā varde. Katrs vardes lēciens ir garumā un pārvieto vardi no kvadrātiņa centra uz cita kvadrātiņa centru. Daži kvadrātiņi, skaitā m, ir iezīmēti ar "x" zīmi, un visi kvadrātiņi, uz kuriem varde var aizlēkt no kvadrātiņa ar "x" zīmi, ir iezīmēti ar "o" zīmi (neatkarīgi no tā, vai tie jau ir iezīmēti ar "x" zīmi). Pavisam ir n kvadrātiņu ar "o" zīmi. Pierādīt, ka n ³ m.

10. uzdevums

Uz tāfeles ir uzrakstīti divi veseli pozitīvi skaitļi. Sākumā viens no tiem ir 2000 un otrs ir mazāks par 2000. Ja abu uz tāfeles uzrakstīto skaitļu vidējais aritmētiskais m ir vesels skaitlis, ir atļauta šāda operācija: vienu no skaitļiem nodzēst un aizvietot ar m. Pierādīt, ka šo operāciju var veikt ne vairāk kā desmit reizes. Uzrādīt piemēru, kurā šī operācija ir veikta desmit reizes.

11. uzdevums

Veselu pozitīvu skaitļu virkne a1, a2, ... ir tāda, ka katriem m un n ir spēkā: ja n dalās ar m un m < n, tad an dalās ar am un am < an. Atrast mazāko iespējamo a2000 vērtību.

12. uzdevums

Dots, ka x1, x2, …, xn, ir tādi veseli pozitīvi skaitļi, ka neviens no tiem nav neviena cita sākuma fragments (piemēram, 12 ir skaitļu 12, 125 un 12405 sākuma fragments). Pierādīt, ka

13. uzdevums

Dots, ka a1, a2,..., an ir tāda veselu skaitļu aritmētiska progresija, ka ai dalās ar i visiem i = 1,2,…,n-1 un an nedalās ar n. Pierādīt, ka n ir pirmskaitļa pakāpe (iespējams, ar kāpinātāju 1).

14. uzdevums

Atrast visus tādus veselus pozitīvus skaitļus n, ka n ir 100 reizes lielāks par skaitļa n pozitīvo dalītāju skaitu.

15. uzdevums

Dots, ka n ir vesels pozitīvs skaitlis, kas nedalās ne ar 2, ne ar 3. Pierādīt, ka visiem veseliem skaitļiem k skaitlis (k + l)n – kn - l dalās ar k2 + k + l.

16. uzdevums

Pierādīt, ka visiem reāliem pozitīviem skaitļiem a, b, c ir spēkā

.

17. uzdevums

Atrisināt reālos skaitļos vienādojumu sistēmu

18. uzdevums

Atrisināt reālos pozitīvos skaitļos vienādojumu

19. uzdevums

Dots reāls skaitlis t ³ un vesels pozitīvs skaitlis n. Pierādīt, ka

t2n ³ (t-1)2n + (2t-1)n.

20. uzdevums

Katram veselam pozitīvam skaitlim n

xn=.

Pierādīt, ka .
 

LU NMS