nms@lu.lv
67033738
Rīga, Zeļļu iela 8, Namiņš

Kontaktinformācija
Par mums


A. Liepas Neklātienes matemātikas skola (NMS) ir Latvijas Universitātes Fizikas un matemātikas fakultātes struktūrvienība akadēmiskā un zinātniskā darba veikšanai. Tās statuss LU hierarhijā līdzvērtīgs nodaļas (matemātikas, fizikas un optometrijas un redzes zinātnes nodaļas) statusam.
 

    Risināšanas laiks katru dienu 4 st. 30 min.. Maksimālais punktu skaits: 7 punkti par katru uzdevumu.

    1.diena

    1.uzdevums. Pieņemsim, ka kopa A ir kopas S={1, 2, ..., 1000000} apakškopa, kas satur tieši 101 elementus. Pierādīt, ka eksistē skaitļi t1, t2, ..., t100, kas pieder kopai S ar īpašību, ka nevienām divām no kopām

    Aj={x+tj|xĪA}, j=1, 2, ..., 100

    nav kopīgu elementu.

    2.uzdevums. Noteikt, kādiem pozitīvu veselu skaitļu pāriem (a, b)

    ir pozitīvs vesels skaitlis.

    3.uzdevums. Dots izliekts sešstūris, kurā katrām divām pretējām malām izpildās sekojoša īpašība: attālums starp to viduspunktiem ir vienāds ar /2 reizinājumu ar šo divu malu summu. Pierādīt, ka visi sešstūra leņķi ir vienādi. (Izliektam sešstūim ABCDEF ir trīs pretējo malu pāri: AB un DE, BC un EF, CD un FA.)

     

    2.diena

    4.uzdevums. Pieņemsim, ka ABCD ir izliekts četrstūris, kura virsotnes atrodas uz vienas riņķa līnijas. Ar P apzīmējam perpendikula no punkta D uz taisni BC pamatu, ar Q apzīmējam perpendikula no punkta D uz taisni CA pamatu un ar R apzīmējam perpendikula no punkta D uz taisni AB pamatu. Pierādīt, ka PQ=QR tad un tikai tad, ja leņķu ABC un ADC bisektrišu krustpunkts atrodas uz taisnes AC.

    5.uzdevums. Pieņemsim, ka n ir pozitīvs vesels skaitlis un x1, x2, ..., xn ir reāli skaitļi, kuriem izpildās x1x2...xn.

    (a) Pierādīt, ka

    (b) Pierādīt, ka nevienādības abas puses ir vienādas tad un tikai tad, ja virkne x1, x2, ..., xn ir aritmētiska progresija.

    6.uzdevums. Pieņemsim, ka p ir pirmskaitlis. Pierādīt, ka eksistē tāds pirmskaitlis q, ka, jebkuram naturālam skaitlim n, skaitlis np-p nedalās ar q.


    44. Starptautiskās skolēnu matemātikas olimpiādes atrisinājumi

    angļu valodā
    .jpg formātā


     

LU NMS