nms@lu.lv
67033738
Rīga, Zeļļu iela 8, Namiņš

Kontaktinformācija
Par mums


A. Liepas Neklātienes matemātikas skola (NMS) ir Latvijas Universitātes Fizikas un matemātikas fakultātes struktūrvienība akadēmiskā un zinātniskā darba veikšanai. Tās statuss LU hierarhijā līdzvērtīgs nodaļas (matemātikas, fizikas un optometrijas un redzes zinātnes nodaļas) statusam.
 

Risināšanas laiks katru dienu 4 st. 30 min.. Maksimālais punktu skaits: 7 punkti par katru uzdevumu.

1.diena

1.uzdevums. Pieņemsim, ka ABC ir šaurleņķu trijstūris, kuram AB¹AC. Riņķa līnija ar diametru BC krusto malas AB un AC atbilstoši punktos M un N. Apzīmēsim malas BC viduspunktu ar O. Leņķu BAC un MON bisektrises krustojas punktā R. Pierādiet, ka trijstūru BMR un CNR apvilktajām riņķa līnijām ir kopīgs punkts, kas atrodas uz malas BC.

2.uzdevums. Noskaidrojiet, kuri polinomi P(x) ar reāliem koeficientiem apmierina vienādību

P(a-b)+P(b-c)+p(c-a)=2P(a+b+c)

pie visiem tādiem reāliem skaitļiem a, b, c, ka ab+bc+ca=0.

3.uzdevums. Sauksim par āķi no sešiem vienības kvadrātiem izveidotu figūru, kas parādīta zīmējumā,

kā arī jebkuru figūru, kas no tās iegūstama ar pagriezienu un simetriju palīdzību.

Noskaidrojiet, kurus taisnstūrus ar izmēriem mn var pārklāt ar āķiem tā, ka
* taisnstūrī nav nepārklātu vietu un āķi savā starpā nepārklājas,
* neviena āķa daļa nepārklāj apgabalu ārpus taisnstūra.

 

2.diena

4.uzdevums. Pieņemsim, ka n³3 ir vesels skaitlis. Pieņemsim, ka t1, t2, ..., tn ir tādi pozitīvi reāli skaitļi, ka

Pierādiet, ka katriem i, j, k, kur 1£i<j<k£n, skaitļi ti, tj, tk ir kāda trijstūra malu garumi.

5.uzdevums. Izliektā četrstūrī ABCD diagonāle BD nedala uz pusēm ne leņķi ABC, ne leņķi CDA. Punkts P atrodas ABCD iekšpusē un apmierina sakarības

ÐPBC=ÐDBA un ÐPDC=ÐBDA

Pierādiet, ka ap četrstūri ABCD var apvilkt riņķa līniju tad un tikai tad, ja AP=CP.

6.uzdevums. Pozitīvu veselu skaitli sauksim par alternējošu, ja tā decimālajā pierakstā no katriem diviem blakus uzrakstītiem cipariem viens ir pāra cipars, bet otrs - nepāra cipars.
Noskaidrojiet, kuriem pozitīviem veseliem skaitļiem n piemīt īpašība: eksistē skaitļa n daudzkārtnis, kurš ir alternējošs.

 

Atpakaļ
 

LU NMS