nms@lu.lv
67033738
Rīga, Zeļļu iela 8, Namiņš

Kontaktinformācija
Par mums


A. Liepas Neklātienes matemātikas skola (NMS) ir Latvijas Universitātes Fizikas un matemātikas fakultātes struktūrvienība akadēmiskā un zinātniskā darba veikšanai. Tās statuss LU hierarhijā līdzvērtīgs nodaļas (matemātikas, fizikas un optometrijas un redzes zinātnes nodaļas) statusam.
 

Latvijas izlases atlases sacensību uzdevumi dalībai 44. IMO

Uzdevumu risināšanas laiks un vērtēšanas sistēma līdzīga kā starptautiskajā olimpiādē: sacensības notiek 2 dienas, katru dienu skolēniem tiek piedāvāti 3 uzdevumi, kuru risināšanai atvēlētas 4 st. 30 min.. Maksimālais punktu skaits: 7 punkti par katru uzdevumu.

1.diena

1.uzdevums. Katrs plaknes punkts nokrāsots vai nu balts, vai sarkans. Pierādīt: var atrast trīs vienādi nokrāsotus punktus, kas ir regulāra trijstūra virsotnes, pie tam trujstūra malas garums ir vai nu 1, vai .

2.uzdevums. Skaitļu virkni x1, x2, x3, ... veido šādi:

x1=1; , ja n=1; 2; 3;....

Kuri šīs virknes locekļi ir naturāli skaitļi?

3.uzdevums. Vai eksistē tāda funkcija

f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F (A, B, C, D, E, F - konstanti skaitļi),

ka starp vērtībām f(i, j), kur i un j neatkarīgi viens no otra pieņem vērtības 1; 2; 3, pa reizei sastopams katrs no skaitļiem 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 10?

 

2.diena

4.uzdevums. Uz šaurleņķu trijstūra ABC malām AB, BC, CA attiecīgi ņemti punkti M, N, K. Ap trijstūriem AMK, BMN, CNK apvilktas riņķa līnjas; to krustpunkti, kas atšīras no M, N, K, atrodas trijstūra ABC iekšpusē.
Pierādīt: tā trijstūra laukums, kura virsotnes ir minēto riņķa līniju centri, nav mazāks par ceturtdaļu no trijstūra ABC laukuma.

5.uzdevums. Saeimā ir 100 deputāti. Nevinam deputātam nav pieejas valsts noslēpumiem. Daži deputāti savā starpā draudzējas, citi - nē. (Ja A draudzējas ar B, tad arī B draudzējas ar A.) Ar vienu gājienu var izvēlēties 1 deputātu un gan viņam, gan visiem viņa draugiem mainīt statusu attiecībā uz valsts noslēpumiem: tiem, kam šāda pieeja bija, to atņemt, bet tiem deputātiem, kam šādas pieejas nebija, to piešķirt.
Pierādīt: ar vairākiem šādiem gājieniem var panākt, ka visiem deputātiem ir pieeja valsts noslēpumiem.

6.uzdevums. Dot, ka a, b, c, d, e - pozitīvi skaitļi. Pierādīt, ka

(a+b+c+d+e)24(ab+bc+cd+de+ea).
 

LU NMS